Autor Tema: Estudia convergencia de \(\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{x}{e^x-1}dx\)

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27 Agosto, 2020, 06:42 pm
Respuesta #20

sugata

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¿Y cómo es que sabes que se verifica la desigualdad      \( \dfrac{1}{x^2}>\dfrac{x}{e^x-1} \)?

Si \( \displaystyle \lim_{x \to{+}\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0 \) con \( f,g \) positivas aplica la definición de límite con \( \epsilon=1 \) y obtendrás inmediatamente el resultado \( f<g \) para \( x \) suficientemente grande.

Aquí te lo explica Fernando.

27 Agosto, 2020, 06:52 pm
Respuesta #21

Buscón

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¿Y cómo es que sabes que se verifica la desigualdad      \( \dfrac{1}{x^2}>\dfrac{x}{e^x-1} \)?

Si \( \displaystyle \lim_{x \to{+}\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0 \) con \( f,g \) positivas aplica la definición de límite con \( \epsilon=1 \) y obtendrás inmediatamente el resultado \( f<g \) para \( x \) suficientemente grande.

Aquí te lo explica Fernando.

Me refería a esta cuestión

Usa L'Hopital hasta que el numerador sea una constante

Ok.    \( \dfrac{6}{e^x}\rightarrow{0} \).    Gracias. Pero la pregunta sigue siendo la misma, ¿A que se debe que ustedes sepan que se verifica esa desigualdad a priori?

O expresado de otra manera. ¿Cual es el criterio para encontrar una integral convergente que acote la integral en estudio.?

Me parece más difícil conseguir esto último que averiguar si converge o no la integral objeto de estudio.



27 Agosto, 2020, 07:15 pm
Respuesta #22

sugata

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OK. A eso ya te digo que las integrales las tengo oxidadas, pero creo que es como las definidas. Practica hasta aprender como atacarlas....

28 Agosto, 2020, 04:50 pm
Respuesta #23

Fernando Revilla

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O expresado de otra manera. ¿Cual es el criterio para encontrar una integral convergente que acote la integral en estudio.?

En Matemáticas existen problemas que van de la simple aplicación de la teoría hasta los que requieren de una dosis quasi infinita de imaginación y/o conocimientos, i.e. no hay reglas ni criterios para resolver cierto tipo de problemas. En nuestro caso te puedo contar el "criterio" sería el saber que las famosas integrales de Riemann \( \int_{1}^{+\infty}dx/x^p \) convergen si y solo si \( p>1 \) y que la exponencial es "mucho más grande" que la potencial.

Me parece más difícil conseguir esto último que averiguar si converge o no la integral objeto de estudio.

¿Calculando la integral dada?

28 Agosto, 2020, 05:16 pm
Respuesta #24

Buscón

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Me parece más difícil conseguir esto último que averiguar si converge o no la integral objeto de estudio.

¿Calculando la integral dada?

Es una forma de expresar que es complicado. Tampoco se calcularla.

29 Agosto, 2020, 02:29 am
Respuesta #25

Buscón

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O expresado de otra manera. ¿Cual es el criterio para encontrar una integral convergente que acote la integral en estudio.?

En Matemáticas existen problemas que van de la simple aplicación de la teoría hasta los que requieren de una dosis quasi infinita de imaginación y/o conocimientos, i.e. no hay reglas ni criterios para resolver cierto tipo de problemas. En nuestro caso te puedo contar el "criterio" sería el saber que las famosas integrales de Riemann \( \int_{1}^{+\infty}dx/x^p \) convergen si y solo si \( p>1 \) y que la exponencial es "mucho más grande" que la potencial.

Será para la potencial cuadrada por por que para la cúbica ya no está tan claro. ¿Alguna demostración en alguna parte?  Gracias.

29 Agosto, 2020, 09:44 am
Respuesta #26

Fernando Revilla

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Será para la potencial cuadrada por por que para la cúbica ya no está tan claro. ¿Alguna demostración en alguna parte?  Gracias.

Para todo \( n \) natural, tenemos \( \lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^n}{e^x}}=0 \) (aplica la regla de L'Hopital de forma reiterada).

29 Agosto, 2020, 12:53 pm
Respuesta #27

Buscón

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Será para la potencial cuadrada por por que para la cúbica ya no está tan claro. ¿Alguna demostración en alguna parte?  Gracias.

Para todo \( n \) natural, tenemos \( \lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^n}{e^x}}=0 \) (aplica la regla de L'Hopital de forma reiterada).

Si, es cierto, muchas gracias. Algún sitio donde encontrar este tipo de "cosillas" útiles para el análisis funcional.

30 Agosto, 2020, 05:26 am
Respuesta #28

Fernando Revilla

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Si, es cierto, muchas gracias. Algún sitio donde encontrar este tipo de "cosillas" útiles para el análisis funcional.

Según autores, se dan algunas reglas o consejos en determinadas situaciones pero no creo que exista un compendio de lo que dices.