Autor Tema: Estudia convergencia de \(\displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{x}{e^x-1}dx\)

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27 Agosto, 2020, 01:31 am
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Buscón

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Estudia la convergencia de

\( \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{x}{e^x-1}\cdot{dx} \)


27 Agosto, 2020, 01:36 am
Respuesta #1

Buscón

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Más de lo mismo

\( \displaystyle\lim_{x \to{1}}{\frac{x}{e^x-1}=\frac{1}{e-2}} \)

converge, y

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x}{e^x-1}} \)

yo diría que diverge aunque no veo como probarlo.

Por lo mismo, integrando positivo e integral no acotada superiormente, la integral diverge positivamente.

Y sigo con muchas dudas. Esto es casi al tuntún. A ver si hay suerte y acierto  :D

27 Agosto, 2020, 07:48 am
Respuesta #2

Fernando Revilla

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Tenemos \( \displaystyle \lim_{x \to{+}\infty}\left(\frac{x}{e^x-1}:\frac{1}{x^2}\right)=\ldots=0 \). Entonces, \( 0\le \dfrac{x}{e^x-1}\le \dfrac{1}{x^2} \) para \( x \) suficientemente grande y \( \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\dfrac{dx}{x^2} \) es convergente. Esto implica que la integral dada es convergente.

27 Agosto, 2020, 11:38 am
Respuesta #3

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\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x}{e^x-1}} \)

yo diría que diverge aunque no veo como probarlo.

Me cito a mi mismo.

Para probarlo, como el valor absoluto del denominador diverge positivamente se puede aplicar L'Hôpital, entonces     \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x}{e^x-1}}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{1}{e^x}} \)    claramente converge a cero.

Así que en contra de lo que había dicho la integral converge.

27 Agosto, 2020, 11:40 am
Respuesta #4

Buscón

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Tenemos \( \displaystyle \lim_{x \to{+}\infty}\left(\frac{x}{e^x-1}:\frac{1}{x^2}\right)=\ldots=0 \). Entonces, \( 0\le \dfrac{x}{e^x-1}\le \dfrac{1}{x^2} \) para \( x \) suficientemente grande y \( \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\dfrac{dx}{x^2} \) es convergente. Esto implica que la integral dada es convergente.


Gracias.

¿Porqué    \( \displaystyle \lim_{x \to{+}\infty}\left(\frac{x}{e^x-1}:\frac{1}{x^2}\right)=\ldots=0 \)    implica    \( 0\le \dfrac{x}{e^x-1}\le \dfrac{1}{x^2} \)?   

Saludos.

27 Agosto, 2020, 12:10 pm
Respuesta #5

sugata

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Tienes una división con el denominador mayor que el numerador al acercarte a 0.

27 Agosto, 2020, 01:33 pm
Respuesta #6

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Tienes una división con el denominador mayor que el numerador al acercarte a 0.

O sea,   \( \dfrac{1}{x^2}>\dfrac{x}{e^x-1} \).    ¿A eso te refieres?

27 Agosto, 2020, 01:37 pm
Respuesta #7

sugata

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Exacto. Al hallar el límite de la división tiende a cero por esa desigualdad.

27 Agosto, 2020, 01:42 pm
Respuesta #8

Buscón

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Exacto. Al hallar el límite de la división tiende a cero por esa desigualdad.

¿Y cómo es que sabes que se verifica la desigualdad      \( \dfrac{1}{x^2}>\dfrac{x}{e^x-1} \)?

27 Agosto, 2020, 03:22 pm
Respuesta #9

Juan Pablo Sancho

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Toma que \( e^x = 1+x+\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots > 1 + \dfrac{x^3}{3!}  \) para \(  x > 0  \)
\( e^x - 1  > \dfrac{x^3}{3!}  \) queda \( \dfrac{3!}{x^3} > \dfrac{1}{e^x-1}  \) finalmente:
\( \dfrac{3!}{x^2} > \dfrac{x}{e^x-1}  \)

27 Agosto, 2020, 04:18 pm
Respuesta #10

Buscón

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Toma que \( e^x = 1+x+\dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots > 1 + \dfrac{x^3}{3!}  \) para \(  x > 0  \)
\( e^x - 1  > \dfrac{x^3}{3!}  \) queda \( \dfrac{3!}{x^3} > \dfrac{1}{e^x-1}  \) finalmente:
\( \dfrac{3!}{x^2} > \dfrac{x}{e^x-1}  \)

Gracias pero casi me quedo igual. No veo que    \( \dfrac{3!}{x^3} > \dfrac{1}{e^x-1} \Rightarrow{\dfrac{3!}{x^2} > \dfrac{x}{e^x-1}} \)

27 Agosto, 2020, 04:48 pm
Respuesta #11

Juan Pablo Sancho

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Multiplicando por \( x \) la desigualdad \( \dfrac{3!}{x^3} > \dfrac{1}{e^x-1}  \)

27 Agosto, 2020, 04:49 pm
Respuesta #12

Fernando Revilla

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¿Y cómo es que sabes que se verifica la desigualdad      \( \dfrac{1}{x^2}>\dfrac{x}{e^x-1} \)?

Si \( \displaystyle \lim_{x \to{+}\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0 \) con \( f,g \) positivas aplica la definición de límite con \( \epsilon=1 \) y obtendrás inmediatamente el resultado \( f<g \) para \( x \) suficientemente grande.

27 Agosto, 2020, 05:31 pm
Respuesta #13

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Multiplicando por \( x \) la desigualdad \( \dfrac{3!}{x^3} > \dfrac{1}{e^x-1}  \)

Es verdad!, gracias.  :banghead:

27 Agosto, 2020, 05:42 pm
Respuesta #14

sugata

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Exacto. Al hallar el límite de la división tiende a cero por esa desigualdad.

¿Y cómo es que sabes que se verifica la desigualdad      \( \dfrac{1}{x^2}>\dfrac{x}{e^x-1} \)?

Fernando lo ha explicado perfectamente, pero es intuitivo.
Si el denominador es menor que el numerador, el resultado es mayor que uno y al reves, menor

27 Agosto, 2020, 06:04 pm
Respuesta #15

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Tenemos \( \displaystyle \lim_{x \to{+}\infty}\left(\frac{x}{e^x-1}:\frac{1}{x^2}\right)=\ldots=0 \). Entonces, \( 0\le \dfrac{x}{e^x-1}\le \dfrac{1}{x^2} \) para \( x \) suficientemente grande y \( \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\dfrac{dx}{x^2} \) es convergente. Esto implica que la integral dada es convergente.

Si \( \displaystyle \lim_{x \to{+}\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0 \) con \( f,g \) positivas aplica la definición de límite con \( \epsilon=1 \) y obtendrás inmediatamente el resultado \( f<g \) para \( x \) suficientemente grande.


\( \textrm{Para }\epsilon=1.\;\exists{\,\delta>0}.\;|x-x_0|<\delta\Rightarrow{\big|\frac{x^3}{e^x-1}-0\big|}<1 \)



:-\ :-\ :-\

EDITADO.

Vale. Ya lo he visto.


\( -1<\dfrac{x^3}{e^x-1}<1\Rightarrow{x^3}<e^x-1 \)

¿Pero de donde sale que     \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x^3}{e^x-1}}=0? \)

27 Agosto, 2020, 06:25 pm
Respuesta #16

sugata

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Usa L'Hopital hasta que el numerador sea una constante

27 Agosto, 2020, 06:27 pm
Respuesta #17

Buscón

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Usa L'Hopital hasta que el numerador sea una constante

Ok.    \( \dfrac{6}{e^x}\rightarrow{0} \).    Gracias. Pero la pregunta sigue siendo la misma, ¿A que se debe que ustedes sepan que se verifica esa desigualdad a priori?

O expresado de otra manera. ¿Cual es el criterio para encontrar una integral convergente que acote la integral en estudio.?

Me parece más difícil conseguir esto último que averiguar si converge o no la integral objeto de estudio.


27 Agosto, 2020, 06:35 pm
Respuesta #18

sugata

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Exacto. Al hallar el límite de la división tiende a cero por esa desigualdad.

¿Y cómo es que sabes que se verifica la desigualdad      \( \dfrac{1}{x^2}>\dfrac{x}{e^x-1} \)?

Fernando lo ha explicado perfectamente, pero es intuitivo.
Si el denominador es menor que el numerador, el resultado es mayor que uno y al reves, menor

Si te refieres a esta desigualdad, la intuición es aritmética básica.
Si \( a>b\Rightarrow{}a/b>1 \)
Fernando lo ha explicado perfectamente con funciones

27 Agosto, 2020, 06:37 pm
Respuesta #19

Buscón

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¿Y cómo es que sabes que se verifica la desigualdad      \( \dfrac{1}{x^2}>\dfrac{x}{e^x-1} \)?

Fernando lo ha explicado perfectamente, pero es intuitivo.
Si el denominador es menor que el numerador, el resultado es mayor que uno y al reves, menor

Si te refieres a esta desigualdad, la intuición es aritmética básica.
Si \( a>b\Rightarrow{}a/b>1 \)
Fernando lo ha explicado perfectamente con funciones

No tan básica. El candidato no sólo debe acotar, también debe converger y pueden ser funciones complejas, no números.