Autor Tema: Estudia convergencia de \(\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x}{x-\sen(x)}\cdot dx\)

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27 Agosto, 2020, 12:25 am
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Buscón

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Estudia la convergencia de

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{x}{x-\sen(x)}\cdot{dx} \)


27 Agosto, 2020, 12:40 am
Respuesta #1

Buscón

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Hola

\( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\frac{x}{x-\sen(x)}}=\lim_{x \to{0}}{\left(\frac{1}{1-\frac{\sen(x)}{x}\rightarrow{1}}\right)}\rightarrow{+\infty} \)

y

\( \displaystyle\lim_{x \to{1}}{\frac{x}{x-\sen(x)}}=\lim_{x \to{1}}{\frac{1}{1-\frac{\sen(x)}{x}}} \).

Como    \( 0\leq{}\displaystyle\frac{\sen(x)}{x}\color{red}\cancel{\color{black}{\leq}}\color{red}<\color{black}1 \)    para    \( x\in{[0,1]} \)    la función converge cuando    \( x\rightarrow{1} \).

Al ser el integrando positivo y no estar mayorada la integral en    \( [0,1] \)    esta última es positivamente divergente.

Con muchas dudas. Saludos y gracias. 

27 Agosto, 2020, 12:53 am
Respuesta #2

sugata

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Como ya te dije, tengo las integrales oxidadas, pero esos límites los veo más rápido por L'Hopital. Así no te aparece ese farragoso \( \dfrac{sen x} {x}  \)

27 Agosto, 2020, 01:05 am
Respuesta #3

Buscón

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Como ya te dije, tengo las integrales oxidadas, pero esos límites los veo más rápido por L'Hopital. Así no te aparece ese farragoso \( \dfrac{sen x} {x}  \)

Gracias. Me temo que para el segundo no es aplicable L'Hôpital.

27 Agosto, 2020, 01:11 am
Respuesta #4

sugata

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Para el segundo no hace falta nada.
\( 0<sen 1<1 \) por lo que \( 0<1-sen1<1 \)

27 Agosto, 2020, 01:15 am
Respuesta #5

Buscón

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Para el segundo no hace falta nada.
\( 0<sen 1<1 \) por lo que \( 0<1-sen1<1 \)

Ya. Muchas.

27 Agosto, 2020, 01:35 am
Respuesta #6

delmar

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Hola Buscón

No entiendo bien el método que utilizas. La idea es comparar el integrando con otro integrando cuya integral sea conocida, por ejemplo con \( \frac{1}{x} \)

Se puede demostrar \( \frac{1}{x}<\frac{x}{x-sen \ x}, \ 0<x\leq{1} \) y de ahí simplemente :

\( \int_{a}^{1}\frac{1}{x} \ dx<\int_{a}^{1}\frac{x}{x-sen \ x} \ dx \) haciendo tender a a cero se demuestra la divergencia del integral.


Saludos

27 Agosto, 2020, 01:52 am
Respuesta #7

Buscón

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Hola Buscón

No entiendo bien el método que utilizas. La idea es comparar el integrando con otro integrando cuya integral sea conocida, por ejemplo con \( \frac{1}{x} \)

Se puede demostrar \( \frac{1}{x}<\frac{x}{x-sen \ x}, \ 0<x\leq{1} \) y de ahí simplemente :

\( \int_{a}^{1}\frac{1}{x} \ dx<\int_{a}^{1}\frac{x}{x-sen \ x} \ dx \) haciendo tender a a cero se demuestra la divergencia del integral.


Saludos

Lo que intento aplicar aunque sin mucho éxito por que no acabo de entenderlo del todo es:

8.28 Proposición (Criterio básico de convergencia). Sea    \( f \)    continua y positiva en    \( [c,b[ \).    Entonces, la integral de    \( f \)    en    \( [c,b[ \)    es convergente si, y sólo si, la función    \( F(x)=\displaystyle\int_{c}^{x}f(t)dt \)    está mayorada en    \( [c,b[ \),    en cuyo caso:

\( \displaystyle\int_{c}^{b}f(t)dt=\sup\left\{\int_{x}^{b}f(t)dt:x\in{[c,b[}\right\} \)

En otro caso la integral de    \( f \)    en    \( [c,b[ \)    es positivamente divergente.

   Las afirmaciones hechas son consecuencia de que, por ser    \( f \)    positiva en    \( [c,b[ \),    la función    \( \displaystyle F(x)=\int_{c}^{x}f(t)dt \)    es creciente en    \( [c,b[ \). 




27 Agosto, 2020, 10:51 pm
Respuesta #8

delmar

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Esa proposición no es aplicable en este caso, f es continua en \( (0,+\infty) \) en cero no puede evitarse la discontinuidad, por que tiende al infinito. Intenta con lo que te he sugerido o de otra manera.

Saludos

29 Agosto, 2020, 12:26 am
Respuesta #9

Buscón

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Esa proposición no es aplicable en este caso, f es continua en \( (0,+\infty) \) en cero no puede evitarse la discontinuidad, por que tiende al infinito. Intenta con lo que te he sugerido o de otra manera.

Saludos

Pero que usas para tomar     \( \frac{1}{x} \).    Para hacer esto hay que saber a priori que la integral pedida diverge cuando     \( x\rightarrow{0} \)    y además es mayor que la candidata a cota inferior, y para ello es necesario saber que la integral pedida diverge cuando     \( x\rightarrow{0} \).    ¿Que fue primero, el huevo o la gallina?

Si se sabe que la integral diverge cuando     \( x\rightarrow{0} \)    ¿que interés tiene compararla con otra?

No sé si me explico.

Saludos.

29 Agosto, 2020, 01:33 am
Respuesta #10

delmar

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Uso un teorema : Si \( G(a), F(a) \) son funciones positivas,  tales que \( G(a)\leq{F(a)}, \ \ si \ \ c<a\leq{d} \) y \( \exists{\lim_{a \to{c}+}{G(a)}}=+\infty\Rightarrow{\exists{\lim_{a \to{c}+}{F(a)}}=+\infty} \)

\( \frac{1}{x}<\frac{x}{x-sen \ x}, \ \ si \ \ 0<x\leq{1} \) se puede demostrar y esto no es suerte de suertes; sino que viene de la intuición y de la experiencia y en todo caso ha de demostrarse.¿Por qué se toma \( \frac{1}{x} \) para comparar ? Por que se sospecha que la integral pedida  diverge, su integrando  es positivo y tiende al infinito al acercarse a cero por la derecha \( \lim_{x \to{0}+}{(\frac{x}{x-sen \ x})}=+ \infty \) en esas circunstancias \( G(a)=\int_{a}^{1}\frac{1}{x} \ dx\leq{\int_{a}^{1}(\frac{x}{x-sen \ x}) \ dx=F(a)}, \ si \ a\in{(0,1]} \), se sabe o en todo caso hay que demostrar que \( \lim_{a \to{0}+}{G(a)}=+\infty \) y por el teorema se deduce que diverge. En resumen, se parte de una sospecha, de una inecuación intuitiva (que ha de demostrarse) en la cual figura una función \( \frac{1}{x} \) cuya integral impropia se sabe que diverge y de un teorema cuya aplicación confirma la sospecha.

Saludos

29 Agosto, 2020, 01:44 am
Respuesta #11

Buscón

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Uso un teorema : Si \( G(a), F(a) \) son funciones positivas,  tales que \( G(a)\leq{F(a)}, \ \ si \ \ c<a\leq{d} \) y \( \exists{\lim_{a \to{c}+}{G(a)}}=+\infty\Rightarrow{\exists{\lim_{a \to{c}+}{F(a)}}=+\infty} \)

\( \frac{1}{x}<\frac{x}{x-sen \ x}, \ \ si \ \ 0<x\leq{1} \) se puede demostrar y esto no es suerte de suertes; sino que viene de la intuición y de la experiencia y en todo caso ha de demostrarse.¿Por qué se toma \( \frac{1}{x} \) para comparar ? Por que se sospecha que la integral pedida  diverge, su integrando  es positivo y tiende al infinito al acercarse a cero por la derecha \( \lim_{x \to{0}+}{(\frac{x}{x-sen \ x})}=+ \infty \) en esas circunstancias \( G(a)=\int_{a}^{1}\frac{1}{x} \ dx\leq{\int_{a}^{1}(\frac{x}{x-sen \ x}) \ dx=F(a)}, \ si \ a\in{(0,1]} \), se sabe o en todo caso hay que demostrar que \( \lim_{a \to{0}+}{G(a)}=+\infty \) y por el teorema se deduce que diverge. En resumen, se parte de una sospecha, de una inecuación intuitiva (que ha de demostrarse) en la cual figura una función \( \frac{1}{x} \) cuya integral impropia se sabe que diverge y de un teorema cuya aplicación confirma la sospecha.

Saludos

Gracias. Me gustaría que me quede claro. ¿Es posible que el límite de una función diverja en uno de los extremos de la integral siendo los extremos finitos y su integral converja?

Si es así no deja de sorprenderme y no entiendo intuitivamente el porqué.

29 Agosto, 2020, 11:38 am
Respuesta #12

Juan Pablo Sancho

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Gracias. Me gustaría que me quede claro. ¿Es posible que el límite de una función diverja en uno de los extremos de la integral siendo los extremos finitos y su integral converja?




https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=114106.msg451343#msg451343

29 Agosto, 2020, 01:07 pm
Respuesta #13

Buscón

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Gracias. Me gustaría que me quede claro. ¿Es posible que el límite de una función diverja en uno de los extremos de la integral siendo los extremos finitos y su integral converja?




https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=114106.msg451343#msg451343

Gracias ¿Y alguna que no sea oscilante?

29 Agosto, 2020, 02:02 pm
Respuesta #14

Juan Pablo Sancho

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29 Agosto, 2020, 02:13 pm
Respuesta #15

Buscón

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En el mismo hilo, la cota superior.

Si, gracias. Sorprendente.

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1}{x}\cdot{dx} \)    diverge e    \( \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}\cdot{dx} \)    converge. No consigo que la intuición me resuelva el porqué.

¿Alguna sugerencia?

Saludos.

29 Agosto, 2020, 02:22 pm
Respuesta #16

Juan Pablo Sancho

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Fijate que \( \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{x}} \ dx  \) si lo miras desde el eje de las ordenadas, el área barrida es la misma que el área de la integral \( \displaystyle \int_1^{+\infty} \dfrac{1}{x^2} \ dx + 1  \) por ser \( y = \dfrac{1}{\sqrt{x}}  \) entonces \( x = \dfrac{1}{y^2}  \)

07 Septiembre, 2020, 01:14 pm
Respuesta #17

mg

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En el mismo hilo, la cota superior.

Si, gracias. Sorprendente.

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1}{x}\cdot{dx} \)    diverge e    \( \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}\cdot{dx} \)    converge. No consigo que la intuición me resuelva el porqué.

¿Alguna sugerencia?
https://foro.rinconmatematico.com/Themes/JustTheme/images/bbc/latex/infinity.gif
Saludos.

Es fácil encontrar una primitiva para ambas integrales. De modo que aplicando la regla de Barrow a la primera integral tenemos que:
\( \lim_{c \to 0}{}\int_{c}^{1}\frac{1}{x}\cdot{dx}=ln(1)-\lim_{c \to 0}{}ln(c)=1+ \infty =+\infty \), por tanto la integral diverge.
De la misma forma se puede justificar la convergencia de la segunda integral tomando la primitiva \( G(x)=2\sqrt[ ]{x} \)

07 Septiembre, 2020, 02:38 pm
Respuesta #18

Buscón

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En el mismo hilo, la cota superior.

Si, gracias. Sorprendente.

\( \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1}{x}\cdot{dx} \)    diverge e    \( \displaystyle\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}\cdot{dx} \)    converge. No consigo que la intuición me resuelva el porqué.

¿Alguna sugerencia?
https://foro.rinconmatematico.com/Themes/JustTheme/images/bbc/latex/infinity.gif
Saludos.

Es fácil encontrar una primitiva para ambas integrales. De modo que aplicando la regla de Barrow a la primera integral tenemos que:
\( \lim_{c \to 0}{}\int_{c}^{1}\frac{1}{x}\cdot{dx}=ln(1)-\lim_{c \to 0}{}ln(c)=1+ \infty =+\infty \), por tanto la integral diverge.
De la misma forma se puede justificar la convergencia de la segunda integral tomando la primitiva \( G(x)=2\sqrt[ ]{x} \)

Me refería a la intuición. Al observar las gráficas de los integrandos, ambas tiene una asíntota vertical en    \( x=0 \).    La intuición dice que las áreas bajo las curvas deberían ser asintóticamente equivalentes pero no es así. Una integral converge y la otra no en    \( [0,1] \).    Y eso es lo que no deja de sorprenderme. No encuentro una explicación razonable intuitivamente.

07 Septiembre, 2020, 03:20 pm
Respuesta #19

Buscón

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Fijate que \( \displaystyle \int_0^1 \dfrac{1}{\sqrt{x}} \ dx  \) si lo miras desde el eje de las ordenadas, el área barrida es la misma que el área de la integral \( \displaystyle \int_1^{+\infty} \dfrac{1}{x^2} \ dx + 1  \) por ser \( y = \dfrac{1}{\sqrt{x}}  \) entonces \( x = \dfrac{1}{y^2}  \)

Aún más sorprendente. Haciendo una rotación de 90 grados en sentido antihorario de los ejes de coordenadas la función    \( f:[0,1] \)    definida por     \( \dfrac{1}{\sqrt[ ]{x}} \)    (aparentemente), se convierte en la función    \( f:(-\infty,-1]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    definida por    \( \dfrac{1}{x^2} \),    y resulta que

\( \displaystyle\lim_{t \to{-}\infty}{}\int_{t}^{-1}x^{-2}\cdot{dx}=\color{red}\cancel{\color{black}x}\color{red}\lim_{t \to{-}\infty}{}-\frac{1}{x}\color{black}\bigg|_{t}^{-1}=\color{red}\cancel{\color{black}-1-t}\color{red}\lim_{t \to{-}\infty}{}-\left(\frac{1}{-1}-\frac{1}{t}\right)\color{black}=\color{red}\cancel{\color{black}-\infty-1}\color{red}\lim_{t \to{-}\infty}{}\left(1+\frac{1}{t}\right)\color{black}=\color{red}\cancel{\color{black}+\infty}\color{red}1 \)

¿Como es posible que   

\( \displaystyle\lim_{t \to{0}}{}\int_{t}^{1}x^{-\frac{1}{2}}\cdot{dx}=\lim_{t \to{0}}{}2\sqrt[ ]{x}\bigg|_t^1=2 \)

si aparentemente las áreas barridas son la misma?


La rotación no parece tan descabellada puesto que    \( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\frac{1}{\sqrt[ ]{x}}}=+\infty \)    y    \( \displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{\frac{1}{x^2}}=0 \).

Saludos.

CORREGIDO.

EDITADO.

Bueno, después de la corrección no parece tan sorprendente ya que al menos ahora ambas integrales convergen. Aunque sigue siendo misterioso que no tengan el mismo valor.