Autor Tema: Estudia convergencia de \(\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{x+5}{x^3+x}dx\)

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26 Agosto, 2020, 02:23 pm
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Buscón

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Estudia la convergencia de la integral impropia

\( \displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{x+5}{x^3+x}\cdot{dx} \)

Sugerencia. Usa los criterios de comparación.


26 Agosto, 2020, 02:45 pm
Respuesta #1

Buscón

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Este ejercicio viene resuelto en https://www.ugr.es/~fjperez/textos/calculo_diferencial_integral_func_una_var.pdf, pág. 422 donde se prueba que la integral es positivamente divergente.

Sin embargo antes de mirar la solución hice esto:

\( \begin{align*}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{x+5}{x^3+x}\cdot{dx}&=\lim_{t \to{+}\infty}{}\int_{0}^{t}\frac{x+5}{x^3+x}\cdot{dx}=\lim_{t \to{+}\infty}{}\int_{0}^{t}\frac{x+5}{x\cdot{}(1+x^2)}\cdot{dx}=\lim_{t \to{+}\infty}{}\int_{0}^{t}\frac{\cancel{x}}{\cancel{x}\cdot{}(1+x^2)}\cdot{dx}+5\cdot{}\lim_{t \to{+}\infty}{}\int_{0}^{t}\frac{1}{x\cdot{}(1+x^2)}\cdot{dx}\leq{}\\\\
&\leq{\lim_{t \to{+}\infty}\int_{0}^{t}\frac{1}{1+x^2}\cdot{dx}+5\cdot{}\lim_{t \to{+}\infty}{}\int_{0}^{t}\frac{1}{1+x^2}\cdot{dx}}=\lim_{t \to{+}\infty}{}\arctg(x)\bigg|_0^t\color{red}+\color{black}5\cdot{\lim_{t \to{+}\infty}}\arctg(x)\bigg|_0^t=\frac{\pi}{2}\color{red}+\color{black}\frac{5\pi}{2}=\color{red}3\pi\end{align*} \)

con lo cual converge.

No consigo ver donde está el error. Gracias.

CORREGIDO.

26 Agosto, 2020, 04:15 pm
Respuesta #2

Juan Pablo Sancho

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El problema esta cerca del cero no en el infinito.
\( \displaystyle \int_0^1 \dfrac{5+x}{x^3+x} \ dx > \int_0^1 \dfrac{5}{x^3 + x} \ dx > \int_0^1 \dfrac{5}{x+x} \ dx   \)

Editado

El error está aquí:


\( \begin{align*}\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\frac{x+5}{x^3+x}\cdot{dx}&=\lim_{t \to{+}\infty}{}\int_{0}^{t}\frac{x+5}{x^3+x}\cdot{dx}=\lim_{t \to{+}\infty}{}\int_{0}^{t}\frac{x+5}{x\cdot{}(1+x^2)}\cdot{dx}=\lim_{t \to{+}\infty}{}\int_{0}^{t}\frac{\cancel{x}}{\cancel{x}\cdot{}(1+x^2)}\cdot{dx}+5\cdot{}\lim_{t \to{+}\infty}{}\int_{0}^{t}\frac{1}{x\cdot{}(1+x^2)}\cdot{dx}\leq{}\\\\
&\leq{\lim_{t \to{+}\infty}\int_{0}^{t}\frac{1}{1+x^2}\cdot{dx}+5\cdot{}\lim_{t \to{+}\infty}{}\int_{0}^{t}\frac{1}{\color{red}x \cdot \color{black}(1+x^2)}\cdot{dx}}=\lim_{t \to{+}\infty}{}\arctg(x)\bigg|_0^t\color{red}+\color{black}5\cdot{\lim_{t \to{+}\infty}}\arctg(x)\bigg|_0^t=\frac{\pi}{2}\color{red}+\color{black}\frac{5\pi}{2}=\color{red}3\pi\end{align*} \)

con lo cual converge.

No consigo ver donde está el error. Gracias.

CORREGIDO.

26 Agosto, 2020, 05:34 pm
Respuesta #3

Buscón

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Eh? ¿Es falso que

   
\( \displaystyle\lim_{t \to{+}\infty}{}\int_{0}^{t}\frac{1}{1+x^2}\cdot{dx}+5\cdot{}\lim_{t \to{+}\infty}{}\int_{0}^{t}\frac{1}{x\cdot{}(1+x^2)}\cdot{dx}\leq{\lim_{t \to{+}\infty}\int_{0}^{t}\frac{1}{1+x^2}\cdot{dx}+5\cdot{}\lim_{t \to{+}\infty}{}\int_{0}^{t}\frac{1}{\color{red}x \cdot \color{black}(1+x^2)}\cdot{dx}} \)

o es porque     

\( \displaystyle\lim_{t \to{+}\infty}{}\int_{0}^{t}\frac{1}{\color{red}x \cdot \color{black}(1+x^2)}\cdot{dx} \)

no está definido?

¿En este tipo de ejercicios entonces hay que estudiar primero los límites del integrando en los extremos para saber de que preocuparse?

Saludos y gracias

26 Agosto, 2020, 05:58 pm
Respuesta #4

Juan Pablo Sancho

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Por las dos cosas:
Si \(  t \in ]0,1]  \) tienes que \( \displaystyle 5 \cdot \int_0^t \dfrac{1}{x \cdot (1+x^2)} \ dx > 5 \cdot \int_0^t \dfrac{1}{1+x^2}  \)

Si \(  t \in [1, +\infty[  \) tienes que \( \displaystyle 5 \cdot \int_0^t \dfrac{1}{x \cdot (1+x^2)} \ dx < 5 \cdot \int_0^t \dfrac{1}{1+x^2}  \)

Al quitar la \( x \) del denominador no tienes como integral \( \arctan  \) y en el cero hay problemas con \( \displaystyle \int_0^t \dfrac{5}{x \cdot (1+x^2)} \ dx  \)

26 Agosto, 2020, 06:25 pm
Respuesta #5

Buscón

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Por las dos cosas:
Si \(  t \in ]0,1]  \) tienes que \( \displaystyle 5 \cdot \int_0^t \dfrac{1}{x \cdot (1+x^2)} \ dx > 5 \cdot \int_0^t \dfrac{1}{1+x^2}  \)

Si \(  t \in [1, +\infty[  \) tienes que \( \displaystyle 5 \cdot \int_0^t \dfrac{1}{x \cdot (1+x^2)} \ dx < 5 \cdot \int_0^t \dfrac{1}{1+x^2}  \)

Al quitar la \( x \) del denominador no tienes como integral \( \arctan  \) y en el cero hay problemas con \( \displaystyle \int_0^t \dfrac{5}{x \cdot (1+x^2)} \ dx  \)

Muchas gracias. Sólo falta que no se me olvide.