Autor Tema: Sobre conjeturas tipo Collatz

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26 Agosto, 2020, 09:50 am
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Pie

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Buenas. Me preguntaba si es posible que la conjetura se cumpla (o no se sepa, más bien) con otros polinomios distintos a \( 3n + 1 \) para n impar.

Probando con \( 5n + 1 \) por ejemplo veo que no se cumple para  \( n=5 \) (se repite el número 26, antes de llegar a 1, con lo que nunca llega a 1), en cambio con \( 5n - 1 \) sí parece que se cumple, al menos para números pequeños (tampoco he mirado mucho más allá XD)

En fin, se sabe de alguna otra conjetura similar o sólo es posible con \( 3n + 1 \) para n impar?

Saludos!
Hay dos tipos de personas, los que piensan que hay dos tipos de personas y los que no.

26 Agosto, 2020, 11:55 am
Respuesta #1

geómetracat

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Hay un argumento heurístico (no riguroso) usando métodos probabilísticos bastante conocido que indica que para el caso \( an \pm 1 \) con \( a>3 \) hay números para los que la sucesión diverge.
Puedes verlo por ejemplo al principio de este artículo:
https://terrytao.wordpress.com/2011/08/25/the-collatz-conjecture-littlewood-offord-theory-and-powers-of-2-and-3/
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

26 Agosto, 2020, 01:42 pm
Respuesta #2

Pie

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Gracias geómetracat, lamentablemente mi nivel de matemáticas (y de inglés XD) no me da para seguir y entender bien el artículo, aunque he creído entender que tiene que ver con la probabilidad de que un número acabe siendo par, algo que compensaria la multiplicación de n por 3 pero no por coeficientes mayores.

La verdad es que esto (si es esto, que seguramente sea algo más complicado y no haya entendido bien el asunto) creo que es bastante intuitivo, pero lo curioso es que con \( 5n - 1 \) parece que ocurre algo parecido a lo que ocurre con \( 3n + 1 \), y el número de iteraciones crece de forma más lenta que los propios números naturales.

Sólo he probado hasta el número 2000 (con un pequeño programa en pascal), pero me llama la atención no sólo que se cumpla hasta ahí, sino que el número de iteraciones no pase de 500, cuando se llega a 400 y pico con los primeros números (con el 19 por ejemplo).

Aunque es probable que con números más grandes ya falle la cosa, claro. En cualquier caso me parece algo bastante curioso y "contraintuitivo"..

Saludos!
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26 Agosto, 2020, 03:26 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Gracias geómetracat, lamentablemente mi nivel de matemáticas (y de inglés XD) no me da para seguir y entender bien el artículo, aunque he creído entender que tiene que ver con la probabilidad de que un número acabe siendo par, algo que compensaria la multiplicación de n por 3 pero no por coeficientes mayores.

La idea es que, de manera heurística, dado un número impar \( n \), el siguiente número impar que aparece cuando aplicas la regla de Collatz (es decir, haces \( 3n+1 \) y divides por la mayor potencia de \( 2 \) por la que \( 3n+1 \) es divisible) será, de media, menor que \( n \) en el caso \( 3n+1 \), pero será, de media, mayor que \( n \) en el caso \( 5n+1 \) o \( 5n-1 \). Eso hace pensar que en el caso \( 5n \pm 1 \) habrá números con órbitas no acotadas, que den números cada vez más grandes y nunca lleguen a \( 1 \) (ni a ningún otro valor finito).

Citar
La verdad es que esto (si es esto, que seguramente sea algo más complicado y no haya entendido bien el asunto) creo que es bastante intuitivo, pero lo curioso es que con \( 5n - 1 \) parece que ocurre algo parecido a lo que ocurre con \( 3n + 1 \), y el número de iteraciones crece de forma más lenta que los propios números naturales.

Sólo he probado hasta el número 2000 (con un pequeño programa en pascal), pero me llama la atención no sólo que se cumpla hasta ahí, sino que el número de iteraciones no pase de 500, cuando se llega a 400 y pico con los primeros números (con el 19 por ejemplo).

Aunque es probable que con números más grandes ya falle la cosa, claro. En cualquier caso me parece algo bastante curioso y "contraintuitivo"..

No parece que funcione en general. He hecho un pequeño programa para probarlo, y no llego a la misma conclusión. Si bien con \( 19 \) converge a \( 1 \) en \( 436 \) iteraciones, por ejemplo empezando con \( 9 \) después de \( 100000 \) iteraciones no ha convergido y el número que se obtiene tras la iteración número \( 100000 \) es un número del orden de \( 10^{3284} \), un número astronómicamente grande. Lo mismo pasa con otros números pequeños, como el \( 11 \) o el \( 15 \) (si bien muchos otros sí convergen a \( 1 \)).

Añadido: Lo que sí que parece una diferencia fundamental entre el caso \( 5n+1 \) y el caso \( 5n-1 \), es que si bien en ambos hay números para los que la sucesión diverge, en el caso \( 5n+1 \) hay algunos números para los que la sucesión no diverge pero tampoco converge a \( 1 \), si no que entra en el bucle \( 13-66-33-166-83-416-208-104-52-26-13 \). En cambio, en el caso \( 5n-1 \) no parece que haya bucles (al menos en los números pequeños que he probado) sino que la sucesión o bien converge a \( 1 \) o bien diverge.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

26 Agosto, 2020, 04:00 pm
Respuesta #4

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Uhm.. qué raro, a mi para el 9 me da 104 iteraciones (y menos de 200 para 11 o 15), para el 19 en cambio me da justo lo mismo que a ti (436).

Igual cometí algún error en la programación y todo viene de ahí (a mi también me parece más lógico que algunos números no converjan), revisaré el programa a ver..

Saludos.
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26 Agosto, 2020, 06:18 pm
Respuesta #5

Pie

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Vale, ya sé lo que ha pasado. Al parecer Pascal se sale del bucle (en vez de dar error o algo así) cuando algún valor de la función supera el valor máximo de la variable. Vaya, que en los números que decías no es que llegara a 1 en esas iteraciones, sino que a partir de ahí empezaba a fallar y se salía del bucle.

En fin, ni caso pues a todo lo que dije sobre \( 5n - 1 \) XD

Saludos.
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26 Agosto, 2020, 08:29 pm
Respuesta #6

geómetracat

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Ah vaya, ya suele pasar que los programas jueguen malas pasadas. Todo aclarado entonces.
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