Autor Tema: Estudia convergencia \(\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{dx}{1+x^2}\)

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25 Agosto, 2020, 01:49 pm
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Buscón

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Estudia la convergencia de la integral impropia y si es convergente calcúlala.

\( \displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\cdot{dx} \)


25 Agosto, 2020, 02:02 pm
Respuesta #1

Buscón

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Es inmediata, así que directamente calculándola


\( \begin{align*}\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}\cdot{dx}&=\lim_{t \to{+}\infty}{\int_{0}^{t}\frac{1}{1+x^2}\cdot{dx}}-\lim_{t \to{-}\infty}{\int_{0}^{t}\frac{1}{1+x^2}\cdot{dx}}=\lim_{t \to{+}\infty}\left({\arctg(x)}\bigg|_0^t\right)-\lim_{t \to{-}\infty}\left({\arctg(x)}\bigg|_0^t\right)=\\\\
&=\lim_{t \to{+}\infty}{\left(\arctg(t)\right)}-\lim_{t \to{-}\infty}{\left(\arctg(t)\right)}=\frac{\pi}{2}-\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\pi\end{align*} \)

Saludos.


EDITADO.

¿Porqué no es cero si la función es impar?.

CORREGIDO.
Confjundiendo el integrando con la integral.  :banghead: :banghead: :banghead: :banghead: