Autor Tema: Estudia convergencia de \(\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x\sqrt{4x^2+x+1}}\)

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

24 Agosto, 2020, 02:01 pm
Leído 87 veces

Buscón

  • Matemático
  • Mensajes: 3,683
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino

Estudia la convergencia de la siguiente integral impropia y calcúlala si es convergente.

\( \displaystyle\int_{1}^{+\infty}\frac{dx}{x\cdot{\sqrt[ ]{4x^2+x+1}}} \)


24 Agosto, 2020, 02:28 pm
Respuesta #1

Buscón

  • Matemático
  • Mensajes: 3,683
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Mi opinión es que no converge por que el integrando es positivo, por lo tanto la integral es creciente, y está última no está acotada superiormente.

Saludos.

EDITADO.

Por decir algo pero lo cierto es que no tengo ni repajolera idea de si converge o no.

24 Agosto, 2020, 03:31 pm
Respuesta #2

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,701
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Sí que converge. Puedes usar el criterio de comparación: el integrando es positivo, tienes
\[ \int_1^\infty \frac{dx}{x\sqrt{4x^2+x+1}} \leq \int_1^\infty \frac{dx}{2x^2} \],
y esta última integral converge.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

24 Agosto, 2020, 11:00 pm
Respuesta #3

Buscón

  • Matemático
  • Mensajes: 3,683
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Sí que converge. Puedes usar el criterio de comparación: el integrando es positivo, tienes
\[ \int_1^\infty \frac{dx}{x\sqrt{4x^2+x+1}} \leq \int_1^\infty \frac{dx}{2x^2} \],
y esta última integral converge.

Gracias. Ahora es fácil.

\( \displaystyle x\sqrt{4x^2+x+1}\geq{2x^2}\Rightarrow{\sqrt{4x^2+x+1}\geq{2x}}\Rightarrow{\sqrt{\frac{4x^2+x+1}{4x^2}}}\geq{0} \),

lo cual es cierto para todo    \( x\in{[1,+\infty]} \),   de donde    \( \displaystyle\frac{1}{x\cdot{}\sqrt{4x^2+x+1}}\leq{\frac{1}{2x^2}} \)    para todo   \( x\in{[1,+\infty]} \).


Falta probar que efectivamente    \( \displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dx}{2x^2} \)    converge,

\( \displaystyle\int_1^{+\infty} \frac{dx}{2x^2}=\displaystyle\lim_{t \to{+}\infty}{}\int_1^{t} \frac{dx}{2x^2}=\frac{1}{2}\cdot{\lim_{t \to{+}\infty}{}\int_1^{t}\frac{1}{x^2}}\cdot{dx}=-\frac{1}{2}\cdot{\lim_{t \to{+}\infty}{\frac{1}{x}\bigg|_1^t}}=-\frac{1}{2}\cdot{\lim_{t \to{+}\infty}{\frac{1}{t}-1}}=\frac{1}{2} \).

Listo.