Autor Tema: Estudia derivabilidad de \(F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\cdot{dt}\)

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23 Agosto, 2020, 06:57 pm
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Buscón

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Sea    \( f \)    la función dada por:

\( \displaystyle f(x)=\begin{cases}2-x,&\textrm{ si }x\leq{1};\\\\2+x,&\textrm{ si }x>1.\end{cases} \)

Estudia la derivabilidad de    \( F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\cdot{dt} \).


23 Agosto, 2020, 08:24 pm
Respuesta #1

Juan Pablo Sancho

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Si \( x \in [0,1]  \) tienes que :
\( \displaystyle F(x) = 2 \cdot x - \dfrac{x^2}{2}  \)
Si \(  x > 1  \) tienes que :
\( \displaystyle F(x) = \dfrac{3}{2} + \int_1^x 2+t \ dt = \dfrac{3}{2} -\dfrac{5}{2} + 2 \cdot x + \dfrac{x^2}{2} = -1 + 2 \cdot x + \dfrac{x^2}{2}  \)

Editado
Aunque la función está definida para \(  x < 0  \) sólo hay que estudiar alrededor del uno por ser \( F \) derivable en \( \mathbb{R} \setminus \{1\}  \)

23 Agosto, 2020, 10:02 pm
Respuesta #2

Buscón

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Si \( x \in [0,1]  \) tienes que :
\( \displaystyle F(x) = 2 \cdot x - \dfrac{x^2}{2}  \)
Si \(  x > 1  \) tienes que :
\( \displaystyle F(x) = \dfrac{3}{2} + \int_1^x 2+t \ dt = \dfrac{3}{2} -\dfrac{5}{2} + 2 \cdot x + \dfrac{x^2}{2} = -1 + 2 \cdot x + \dfrac{x^2}{2}  \)

Editado
Aunque la función está definida para \(  x < 0  \) sólo hay que estudiar alrededor del uno por ser \( F \) derivable en \( \mathbb{R} \setminus \{1\}  \)


Gracias. Una vez aclarados los intervalos de integración para cada caso, cosa que se me había escapado, hice lo siguiente:

La función    \( F \)    será derivable en    \( x=1 \)    si existe    \( \displaystyle\lim_{x \to{1}}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}} \).    Es obvio que existe pues    \( \displaystyle\lim_{x \to{1}}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}}=F'(1)=f(1)=2-1=1 \),    peeeero... por otro lado

\( \color{red}\cancel{\color{black}F(x)=\begin{cases}\displaystyle\int_{0}^{x}2-t\cdot{dt}=2x-\frac{x^2}{2},&\textrm{ si }x\leq{1};\\\\\displaystyle\int_{1}^{x}2+t\cdot{dt}=2x+\frac{x^2}{2}-\left(2+\frac{1}{2}\right)=2x+\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2},&\textrm{ si }x>1,\end{cases}} \)

\( \displaystyle f(x)=\begin{cases}2-x,&\textrm{ si }x\leq{1};\\\\2+x,&\textrm{ si }x>1.\end{cases}\Rightarrow{F(x)=\begin{cases}\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{}\int_{1}^{x}f(t)\cdot{dt}=\displaystyle\lim_{x \to{-}\infty}{} -\int_{x}^{1}2-t\cdot{dt}=\lim_{x \to{-}\infty}{}-2t\bigg|_x^1+\frac{t^2}{2}\bigg|_x^1=\lim_{x \to{-}\infty}{}\frac{-x^2-1}{2},&\textrm{ si }x\leq{1}\\\\\\\displaystyle\int_{1}^{x}f(t)\cdot{dt}=\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\int_{1}^{x}2+t\cdot{dt}=\lim_{x \to{+}\infty}{}2t\bigg|_1^x+\frac{t^2}{2}\bigg|_1^x=\lim_{x \to{+}\infty}{}\frac{4x-x^2-3}{2},&\textrm{ si }x>1\end{cases}} \)

además de existir para que exista deberá ser

\( \displaystyle\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}}=\lim_{x \to{1}\\x>1}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}} \)

para poder afirmar que     \( F \)    es derivable en    \( x=1 \).

Sin embargo

\( \color{red}\cancel{\color{black}\displaystyle\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}}=\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{2x-\frac{x^2}{2}-\left(2-\frac{1}{2}\right)}{x-1}}\neq\lim_{x \to{1}\\x>1}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}}=\lim_{x \to{1}\\x>1}{\frac{2x+\frac{x^2}{2}-\frac{5}{2}-\left(2-\frac{1}{2}\right)}{x-1}}} \),

\( \color{red}\cancel{\color{black}\displaystyle\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}}=\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{2x-\frac{x^2}{2}+\frac{3}{2}}{x-1}}\neq\lim_{x \to{1}\\x>1}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}}=\lim_{x \to{1}\\x>1}{\frac{2x+\frac{x^2}{2}-1}{x-1}}} \),



Por la izquierda    \( \displaystyle\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}}=\displaystyle\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{\frac{-x^2-1}{2}-\frac{-1-1}{2}}{x-1}}=\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{1-x^2}{2x-2}}=\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{-2x}{2}}=-1 \)


Por la derecha    \( \displaystyle\lim_{x \to{1}\\x>1}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}}=\displaystyle\lim_{x \to{1}\\x>1}{\frac{\frac{4x-x^2-3}{2}-\frac{-1-1}{2}}{x-1}}=\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{4x-x^2-1}{2x-2}}=\lim_{x \to{1}\\x<1}{\frac{-2x+4}{2}}=1 \)


así que no sabría decir si es o no es derivable la función    \( F \)    en     \( x=1 \).

:-\

¿Quizás estoy equivocado al pensar que esos límites deben coincidir para considerar la función derivable?

Saludos.


CORREGIDO.

23 Agosto, 2020, 10:33 pm
Respuesta #3

Juan Pablo Sancho

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La función    \( F \)    será derivable en    \( x=1 \)    si existe    \( \displaystyle\lim_{x \to{1}}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}} \).    Es obvio que existe pues    \( \displaystyle\lim_{x \to{1}}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}}=F'(1)=f(1)=2-1=1 \),    peeeero... por otro lado


Pero eso es falso, \( f \) no es continua en \(  x = 1  \)

Por otro lado al tener los límites laterales diferentes no es derivable.

23 Agosto, 2020, 11:58 pm
Respuesta #4

Buscón

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La función    \( F \)    será derivable en    \( x=1 \)    si existe    \( \displaystyle\lim_{x \to{1}}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}} \).    Es obvio que existe pues    \( \displaystyle\lim_{x \to{1}}{\frac{F(x)-F(1)}{x-1}}=F'(1)=f(1)=2-1=1 \),    peeeero... por otro lado


Pero eso es falso, \( f \) no es continua en \(  x = 1  \)

Por otro lado al tener los límites laterales diferentes no es derivable.

6.1 Definición.

Se dice que una función    \( f:I\rightarrow{R} \)    es derivable en un punto    \( a\in{I} \),    si existe el límite:

\( \displaystyle\lim_{x \to{a}}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}} \).

Explícitamente,    \( f \)    es derivable en    \( a \)    si hay un número    \( L\in{\mathbb{R}} \)    verificando que para cada número    \( \epsilon>0 \)    existe algún número    \( \delta>0 \)    tal que para todo    \( x\in{I} \)    con    \( x\neq a \)    y    \( |x-a|<\delta \)    se tiene que:

\( \displaystyle\left|\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-L\right|\leq{}\epsilon \)

Dicho número    \( L \)    se llama derivada de    \( f \)    en    \( a \)    y lo representamos por    \( f'(a) \)    (notación debida a Lagrange).


Ahora resulta que, por definición, para    \( x\leq{1} \),   \( \displaystyle F'(x)=\left[\int_{0}^{x}2-t\cdot{dt}\right]'=x'\cdot{(2-x)}=1\cdot{(2-x})=2-x \)    de donde    \( F'(1)=2-1=1 \).    ¿Cómo es posible calcular la derivada de    \( F \)    en    \( x=1 \)    si     \( F \)    no es derivable en    \( x=1 \)?

:-\ :-\ :-\

EDITADO.

Ojo! que por la izquierda de    \( 1 \)    existe ese límite pero la definición exige que exista para todo    \( x\in{I} \).

25 Agosto, 2020, 01:47 pm
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

Ahora resulta que, por definición, para    \( x\leq{1} \),   \( \displaystyle F'(x)=\left[\int_{0}^{x}2-t\cdot{dt}\right]'=x'\cdot{(2-x)}=1\cdot{(2-x})=2-x \)    de donde    \( F'(1)=2-1=1 \).    ¿Cómo es posible calcular la derivada de    \( F \)    en    \( x=1 \)    si     \( F \)    no es derivable en    \( x=1 \)?

Cuando derivas la integral lo que estás aplicando es el Teorema fundamental del cálculo integra. Fíjate que entre sus hipótesis se encuentra que la función que se integra sea continua en un entorno abierto del punto en el que se deriva.

En tu caso la función \( F(x) \) no es continua en \( 1 \). Si lo aplicas para la función \( 2-t \), ésta solo coincide con \( F(t) en [0,1] \) pero no en (1,+\infty); por tanto de nuevo no puedes usar el Teorema fundamental del cálculo integral para hallar la derivada de \( F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\cdot{dt} \) en \( 1 \).

Saludos.

25 Agosto, 2020, 03:38 pm
Respuesta #6

Buscón

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Hola

Ahora resulta que, por definición, para    \( x\leq{1} \),   \( \displaystyle F'(x)=\left[\int_{0}^{x}2-t\cdot{dt}\right]'=x'\cdot{(2-x)}=1\cdot{(2-x})=2-x \)    de donde    \( F'(1)=2-1=1 \).    ¿Cómo es posible calcular la derivada de    \( F \)    en    \( x=1 \)    si     \( F \)    no es derivable en    \( x=1 \)?

Cuando derivas la integral lo que estás aplicando es el Teorema fundamental del cálculo integra. Fíjate que entre sus hipótesis se encuentra que la función que se integra sea continua en un entorno abierto del punto en el que se deriva.

En tu caso la función \( F(x) \) no es continua en \( 1 \). Si lo aplicas para la función \( 2-t \), ésta solo coincide con \( F(t) en [0,1] \) pero no en (1,+\infty); por tanto de nuevo no puedes usar el Teorema fundamental del cálculo integral para hallar la derivada de \( F(x)=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\cdot{dt} \) en \( 1 \).

Saludos.

Si, gracias. Viendo el teorema queda claro. Es fácil caer en el error de considerar    \( F'(1)=1 \).

¿Entonces no es correcto el?

Cita de: Javier Pérez. Cálculo diferencial e integral
8.16 Teorema (Teorema fundamental del Cálculo). Sea    \( f:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    una función integrable y definamos    \( F:[a,b]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    por:

\( F(x)=\displaystyle\int_{a}^{x}f(t)dt\tag{8.6} \)

para todo    \( x\in{[a,b]} \).    Entonces:

   i)  \( F \)    es continua en    \( [a,b] \).

   ii) En todo punto    \( c \)    de     \( [a,b] \)    en el que    \( f \)    sea continua se verifica que    \( F \)    es derivable en dicho
       punto siendo    \( F'(c)=f(c) \).   En particular, si    \( f \)    es continua en    \( \color{red}[a,b] \),    entonces    \( F \)   es derivable
       en    \( \color{red}[a,b] \)    y    \( F'(x)=f(x) \)    para todo    \( x\in{\color{red}[a,b]} \).


https://www.ugr.es/~fjperez/textos/calculo_diferencial_integral_func_una_var.pdf   pág. 394

Aplicado al caso sería    \( c=1\in{[0,+\infty)} \)    donde la función    \( f \)    no es continua y por lo tanto es probable que    \( F \)    no sea derivable pero no imposible.    El teorema no dice nada acerca de los puntos en los que el integrando no es continúo.

Saludos.

26 Agosto, 2020, 12:59 pm
Respuesta #7

Buscón

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Cuando derivas la integral lo que estás aplicando es el Teorema fundamental del cálculo integra. Fíjate que entre sus hipótesis se encuentra que la función que se integra sea continua en un entorno abierto del punto en el que se deriva.


¿Y este caso?


Sea la función    \( \displaystyle f:\left[0,\pi\right]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    definida por

\( \displaystyle f(x)=\begin{cases}0,&\textrm{ si }x=\frac{\pi}{2}\\\\-\sen(x),&\textrm{ si }x\neq\frac{\pi}{2}\end{cases} \)


Estudia la derivabilidad de    \( \displaystyle F(x)=\int_{0}^{x}f(t)\cdot{dt} \)


La función es integrable Riemann por estar acotada en    \( [0,\pi] \)    con un número finito de discontinuidades, concretamente una en    \( x=\dfrac{\pi}{2} \).

El teorema fundamental del cálculo integral asegura que    \( F \)    es continua en    \( [0,\pi] \)    y la integral    \( \displaystyle\int_{0}^{x}-\sen(t)\cdot{dt}=\cos(t)\bigg|_0^{x}=\cos(x)-1 \)   es derivable en todo punto    \( c\in{[0,\pi]} \)    donde    \( f \)    es continua.

Por consiguiente,     como la función    \( f \)    no es continua en    \( x=\dfrac{\pi}{2} \),    la función    \( F \)    no debería ser derivable en dicho punto. Sin embargo al estudiar la derivabilidad de    \( F \):

por la izquierda de    \( \dfrac{\pi}{2} \),

\( \displaystyle\lim_{x \to{\frac{\pi}{2}}\\x<\frac{\pi}{2}}{\frac{F(x)-F(\frac{\pi}{2})}{x-\frac{\pi}{2}}}=\lim_{x \to{\frac{\pi}{2}}\\x<\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)-1-\left(\cos(\frac{\pi}{2})-1\right)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim_{x \to{\frac{\pi}{2}}\\x<\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim_{x \to{\frac{\pi}{2}}\\x<\frac{\pi}{2}}\frac{-\sen(x)}{1}=0 \),
   

y por la derecha

\( \displaystyle\lim_{x \to{\frac{\pi}{2}}\\x<\frac{\pi}{2}}{\frac{F(x)-F(\frac{\pi}{2})}{x-\frac{\pi}{2}}}=\lim_{x \to{\frac{\pi}{2}}\\x<\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)-1-\left(\cos(\frac{\pi}{2})-1\right)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim_{x \to{\frac{\pi}{2}}\\x<\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{x-\frac{\pi}{2}}=\lim_{x \to{\frac{\pi}{2}}\\x<\frac{\pi}{2}}\frac{-\sen(x)}{1}=0 \),

se puede deducir que la función    \( F \)    es derivable en   \( x=\dfrac{\pi}{2} \)    a pesar de no ser continua la función    \( f \)    en él.

Saludos.

EDITADO.