Autor Tema: demostracion volumen eje OY

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23 Agosto, 2020, 04:55 pm
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mg

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En la demostración de la formula del volumen del solido de revolución alrededor del eje OY en las fotos adjuntas, dice que;

\( \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}(f_M(x)-f_m(x))dx=M_i-m_i \) por que se da esa igualdad?


Donde \( M_i=sup\left\{{f(x):x\epsilon[x_{i-1},x_i]}\right\} \) y \( m_i=inf\left\{{f(x):x\epsilon[x_{i-1},x_i]}\right\} \)

Y \( f_m(x)=\begin{cases}{m_i}&\text{si}& x\epsilon ]x_{i-1},x_i] \\f(a)& \text{si}& x=a\end{cases} \)
\( f_M(x)=\begin{cases}{M_i}&\text{si}& x\epsilon ]x_{i-1},x_i] \\f(a)& \text{si}& x=a\end{cases} \)

23 Agosto, 2020, 05:00 pm
Respuesta #1

robinlambada

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Hola.
En la demostración de la formula del volumen del solido de revolución alrededor del eje OY en estos apuntes, https://av01-19-20.uca.es/moodle/pluginfile.php/96334/mod_resource/content/2/inte_grado.pdf , en la pagina 56, concluye que;

\( \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}(f_M(x)-f_m(x))dx=M_i-m_i \) por que se da esa igualdad?


Donde \( M_i=sup\left\{{f(x):x\epsilon[x_{i-1},x_i]}\right\} \) y \( m_i=inf\left\{{f(x):x\epsilon[x_{i-1},x_i]}\right\} \)


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Saludos
Envejecer es como escalar una gran montaña: mientras se sube las fuerzas disminuyen, pero la mirada es más libre, la vista más amplia y serena.

La verdadera juventud una vez alcanzada, nunca se pierde.

23 Agosto, 2020, 05:10 pm
Respuesta #2

mg

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mando las capturas de la demostración, espero que se puedan ver sin problema

23 Agosto, 2020, 07:20 pm
Respuesta #3

robinlambada

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Gracias , ahora si se entiende mejor.

Esto que has puesto, es falso, y no lo da ha entender en la demostración.

\( \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}(f_M(x)-f_m(x))dx=M_i-m_i \) por que se da esa igualdad?
Es que no se da la igualdad, solo que saca $$f_M(x)-f_m(x)$$ fuera de la integral por ser constantes respecto a x en cada integración.
Citar

Donde \( M_i=sup\left\{{f(x):x\epsilon[x_{i-1},x_i]}\right\} \) y \( m_i=inf\left\{{f(x):x\epsilon[x_{i-1},x_i]}\right\} \)

Y \( f_m(x)=\begin{cases}{m_i}&\text{si}& x\epsilon ]x_{i-1},x_i] \\f(a)& \text{si}& x=a\end{cases} \)
\( f_M(x)=\begin{cases}{M_i}&\text{si}& x\epsilon ]x_{i-1},x_i] \\f(a)& \text{si}& x=a\end{cases} \)
Es que esta es la clave y la respuesta a lo que hace.


Se ha definido como el valor máximo y mínimo de la función en el subintervalo  $$]x_{i-1},x_i] $$

Por ello $$\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}(f_M(x)-f_m(x))xdx=\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}(M_i-m_i)xdx=(M_i-m_i)\int_{x_{i}}^{x_{i+1}}xdx$$

Saludos.

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23 Agosto, 2020, 07:34 pm
Respuesta #4

mg

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Ahh ya entiendo. Muchisimas gracias.