Autor Tema: Estudia \(\;\;\;\displaystyle F(x)=\int_{x}^{2x}e^{-t^2}\cdot{dt}\)

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23 Agosto, 2020, 03:47 am
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Buscón

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Sea    \( f:[0,+\infty]\rightarrow{\mathbb{R}} \)    definida por    \( \;\;\;\displaystyle F(x)=\int_{x}^{2x}e^{-t^2}\cdot{dt} \).    Estudia los extremos relativos y absolutos de    \( F \),    intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y calcula el límite de    \( F \)    en    \( +\infty \).


23 Agosto, 2020, 04:12 am
Respuesta #1

Buscón

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Saludos.

Este ejercicio viene resuelto en    (https://www.ugr.es/~fjperez/textos/calculo_diferencial_integral_func_una_var.pdf, pág 419, Ejercicio resuelto 192),    y más o menos creo que lo he entendido.

Lo que agradecería es que me expliquen el razonamiento que permite afirmar que el límite en el infinito es cero una vez probado que la función     \( F(x)\geq{0} \)  para todo    \( x\in{[0,+\infty]} \).

Cita de: Javier Pérez

...

Finalmente, como

\( 0\leq{F(x)}=\displaystyle\int_{x}^{2x}e^{-t^2}\,dt\leq{\int_{x}^{2x}e^{-x^2}\,dt}=x\,e^{-x^2} \)

y \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x\,e^{-x^2}}=0 \),    obtenemos que    \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{F(x)}=0 \).

En concreto la desigualdad, el cambio de variable, la integración y el cálculo de    \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x\cdot{}e^{-x^2}}=0 \).

Muchas gracias.

23 Agosto, 2020, 04:41 am
Respuesta #2

sugata

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Estoy bastante oxidado en integrales, pero el limite:
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x\cdot{}e^{-x^2}}=\lim_{x \to{+}\infty} {\dfrac{x} {e^{x^2}} }
 \)

Ahora L'Hopital y lo tienes

23 Agosto, 2020, 11:27 am
Respuesta #3

manooooh

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Hola

Cita de: Javier Pérez

...

Finalmente, como

\( 0\leq{F(x)}=\displaystyle\int_{x}^{2x}e^{-t^2}\,dt\leq{\int_{x}^{2x}e^{-x^2}\,dt}=x\,e^{-x^2} \)

y \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x\,e^{-x^2}}=0 \),    obtenemos que    \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{F(x)}=0 \).

En concreto la desigualdad, el cambio de variable, la integración y el cálculo de    \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x\cdot{}e^{-x^2}}=0 \).

Vaya por delante que el autor tiene un error importante en la desigualdad entre esas integrales, porque lo único que hizo fue llamar a la variable de otra forma. Le falta cambiar el integrando.

Pero no veo fácil cuál debe ser tal que al integrarse entre \( x \) y \( 2x \) de como resultado \( xe^{-x^2} \). En otras palabras, hay que buscar una \( f(x) \) tal que

\( \displaystyle\int_x^{2x}f(x)\,dx=xe^{-x^2}. \)

Si los límites de la integral fuesen constantes sería rápido, pero son variables. Termina en una ecuación funcional con derivadas, algo que no domino.

Por eso te chirría esa desigualdad. Espera a ver alguna mente brillante que atine a esa \( f(x) \) mediante "tanteo" :laugh:.

Con respecto al límite es como te ha comentado sugata.

Saludos

23 Agosto, 2020, 11:48 am
Respuesta #4

Juan Pablo Sancho

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Sea \( x > 1  \)
\( \displaystyle 0 \leq F(x) = \int_x^{2x} e^{-t^2} \ dt < \int_x^{2x} t \cdot e^{-t^2} \ dt = \dfrac{1}{2}[-e^{-t^2}]_x^{2x} < \dfrac{1}{2}[-e^{-t^2}]_x^{+\infty} = \dfrac{1}{2} \cdot e^{-x^2}   \)

23 Agosto, 2020, 11:57 am
Respuesta #5

geómetracat

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Vaya por delante que el autor tiene un error importante en la desigualdad entre esas integrales, porque lo único que hizo fue llamar a la variable de otra forma. Le falta cambiar el integrando.

No, está bien. No es ningún cambio de variable. Lo que usa el autor ahí es que, fijado un \( x>0 \), se tiene que \( e^{-t^2} \leq e^{-x^2} \) para todo \( t \in [x,2x] \).
Así pues,
\[ \int_x^{2x} e^{-t^2}dt \leq \int_x^{2x} e^{-x^2}dt = e^{-x^2} \int_x^{2x}dt = xe^{-x^2} \],
donde el \( e^{-x^2} \) sale fuera de la integral al no depender de \( t \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Agosto, 2020, 02:39 pm
Respuesta #6

Buscón

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Sea \( x > 1  \)
\( \displaystyle 0 \leq F(x) = \int_x^{2x} e^{-t^2} \ dt < \int_x^{2x} t \cdot e^{-t^2} \ dt = \dfrac{1}{2}[-e^{-t^2}]_x^{2x} < \dfrac{1}{2}[-e^{-t^2}]_x^{+\infty} = \dfrac{1}{2} \cdot e^{-x^2}   \)

Hola, gracias. No lo veo. No es cierto que

\( \displaystyle e^{-\left(\frac{1}{\sqrt[ ]{2} }\right)^2}<\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}\cdot{e^{-\left(\frac{1}{ \sqrt[ ]{2} }\right)^2}}\Rightarrow{\frac{1}{\sqrt[ ]{e}}}<\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}\cdot{\frac{1}{\sqrt[ ]{e}}}\Rightarrow{\frac{1}{\sqrt[ ]{e}}<\frac{1}{\sqrt[ ]{2e}}} \)

y las integrales conservan el orden.

23 Agosto, 2020, 02:51 pm
Respuesta #7

Juan Pablo Sancho

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23 Agosto, 2020, 03:06 pm
Respuesta #8

Buscón

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23 Agosto, 2020, 03:29 pm
Respuesta #9

Buscón

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Vaya por delante que el autor tiene un error importante en la desigualdad entre esas integrales, porque lo único que hizo fue llamar a la variable de otra forma. Le falta cambiar el integrando.

No, está bien. No es ningún cambio de variable. Lo que usa el autor ahí es que, fijado un \( x>0 \), se tiene que \( e^{-t^2} \leq e^{-x^2} \) para todo \( t \in [x,2x] \).
Así pues,
\[ \int_x^{2x} e^{-t^2}dt \leq \int_x^{2x} e^{-x^2}dt = e^{-x^2} \int_x^{2x}dt = xe^{-x^2} \],
donde el \( e^{-x^2} \) sale fuera de la integral al no depender de \( t \).

Si, gracias. La idea es que si una función integrable es no negativa en todo su dominio, el valor de la integral del subintervalo     \( I\subset{J} \)    es menor o igual que el valor de la integral del intervalo     \( J \),    (\( I,J \)   incluidos en el dominio de dicha función).

¿Correcto? Parece obvio. ¿Lo es?

23 Agosto, 2020, 03:36 pm
Respuesta #10

geómetracat

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Si, gracias. La idea es que si una función integrable es no negativa en todo su dominio, el valor de la integral del subintervalo     \( I\subset{J} \)    es menor o igual que el valor de la integral del intervalo     \( J \),
(\( I,J \)   incluidos en el dominio de dicha función).

¿Correcto?

Sí, eso que dices es cierto.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

23 Agosto, 2020, 03:46 pm
Respuesta #11

Buscón

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Para calcular el límite se me ocurre L'Hôpital.    \( \displaystyle\frac{x}{e^{x^2}} \)    verifica las hipótesis. Tanto el numerador como el denominador son funciones derivables y     \( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{}\big|e^{x^2}\big|=+\infty \),    entonces

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{x}{e^{x^2}}}=\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{1}{2x\cdot{e^{x^2}}}}=\lim_{x \to{+}\infty}{}\frac{0}{4x^2\cdot{e^{x^2}}}=0 \)


Saludos y muchas gracias.

23 Agosto, 2020, 03:59 pm
Respuesta #12

Buscón

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Estoy bastante oxidado en integrales, pero el limite:
\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x\cdot{}e^{-x^2}}=\lim_{x \to{+}\infty} {\dfrac{x} {e^{x^2}} }
 \)

Ahora L'Hopital y lo tienes

Muchas gracias sugata, al final se me encendió la bombilla incluso antes de ver tu mensaje.  :laugh:

23 Agosto, 2020, 04:00 pm
Respuesta #13

Juan Pablo Sancho

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Sea \( x > 1  \)

Ah, vale, pero no es el caso. El dominio de la función es    \( [0,+\infty] \)
Pero estamos calculando cuando \( x \to +\infty  \)

23 Agosto, 2020, 04:03 pm
Respuesta #14

Buscón

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Ah, vale, pero no es el caso. El dominio de la función es    \( [0,+\infty] \)
Pero estamos calculando cuando \( x \to +\infty  \)

Ah, pues es verdad, que es bastante mayor que uno, por cierto.    :banghead: :banghead: :banghead:

Gracias.

23 Agosto, 2020, 04:14 pm
Respuesta #15

Juan Pablo Sancho

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Mira también que la cota que pongo es mejor que la que indica el ejercicio:
\( F(x) < \dfrac{1}{2} \cdot e^{-x^2} < x \cdot e^{-x^2}  \) para \(  x > 1  \)

23 Agosto, 2020, 04:25 pm
Respuesta #16

Buscón

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Mira también que la cota que pongo es mejor que la que indica el ejercicio:
\( F(x) < \dfrac{1}{2} \cdot e^{-x^2} < x \cdot e^{-x^2}  \) para \(  x > 1  \)

Si, si. Es cierto


Sea \( x > 1  \)
\( \displaystyle 0 \leq F(x) = \int_x^{2x} e^{-t^2} \ dt < \int_x^{2x} t \cdot e^{-t^2} \ dt = \dfrac{1}{2}[-e^{-t^2}]_x^{2x} < \dfrac{1}{2}[-e^{-t^2}]_x^{+\infty} = \dfrac{1}{2} \cdot e^{-x^2}   \)

Estamos en el infinito donde la desigualdad es obvia. Así queda una integral inmediata que resuelve el problema, haciendo más sencillo el cálculo del límite. El resto queda para la regla del sándwich. Genial!

\( \displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{\frac{1}{2e^{x^2}}}=0 \)

Muchas gracias.