Autor Tema: Ecuacion con mcm y e mcd

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22 Agosto, 2020, 12:51 am
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0_kool

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Hola , me tope con este problema en la red
alguien sabe como resolverlo

\( (m.c.m[a,b] )^2+(M.C.D[a,b])^2=900 \)

Hallar a y b , donde  m.c.m[a,b]=mínimo común múltiplo y M.C.D[a,b]=máximo común divisor  entre a y b respectivamente

saludos y gracias

22 Agosto, 2020, 02:40 am
Respuesta #1

ingmarov

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Hola

Probando en python el siguiente código

Código: [Seleccionar]
for i in range(1,31):
for j in range(1,31):
if i**2+j**2==900:
print(i,j)

arroja los valores 18 y 24

¿Existen dos números cuyo mcd=18 y mcm=24? No porque, para un par de números cualquiera, el mcm es divisible por mcd.

Esa ecuación no tiene solución


Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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22 Agosto, 2020, 03:09 am
Respuesta #2

0_kool

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hola  ingmarov , si esa ecuación tuviese solución , cúal seria el procedimiento a seguir que no se a fuerza bruta, gracias por tu tiempo

22 Agosto, 2020, 03:36 am
Respuesta #3

ingmarov

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Creo que me equivoqué en algo, dejo tachado y/o en rojo la parte en que me equivoco, son pasos que complican y no nos ayudan a resolver

Algo que se me ocurre es usar la igualdad   \[ M=k\cdot D,\quad k\in\mathbb{Z} \]      (M: mcm(a,b),    D:mcd(a,b))

Entonces tenemos la ecuación

\[ M^2+D^2=900 \]

\[ k^2\cdot D^2+D^2=900 \]

\[ D^2(k^2+1)=900 \]

\[ D^2=\dfrac{900}{k^2+1} \]


\[ k^2+1 \] debe ser un divisor de 900, y el resultado de la división un número cuadrado perfecto




\[ \cancel{D=\sqrt{\dfrac{900}{k^2+1}}=\dfrac{30}{\sqrt{k^2+1}}} \]


\[ \sqrt{k^2+1} \] debe ser un divisor de 30, es decir que debe ser uno de los elementos del conjunto {1,2,3,5,6,10,15}

Creo que para terminar, lo que se debe probar es que si sumamos 1 al cuadrado de un número entero no obtenemos un numero cuadrado perfecto.


Saludos
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22 Agosto, 2020, 05:12 am
Respuesta #4

0_kool

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Hola de nuevo , pensaba sin ningun procedimiento claro , con un poco de tanteo , los números podrian ser 30, 30  , pero no veo com encajan con tú desarrollo.

22 Agosto, 2020, 05:32 am
Respuesta #5

ingmarov

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Hola de nuevo , pensaba sin ningun procedimiento claro , con un poco de tanteo , los números podrian ser 30, 30  , pero no veo com encajan con tú desarrollo.

Entonces mcd(30,30)=mcm(30,30)=30

\[ 30^2+30^2=1800\neq 900 \]
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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22 Agosto, 2020, 07:19 am
Respuesta #6

0_kool

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Hola de nuevo , pensaba sin ningun procedimiento claro , con un poco de tanteo , los números podrian ser 30, 30  , pero no veo com encajan con tú desarrollo.

Entonces mcd(30,30)=mcm(30,30)=30

\[ 30^2+30^2=1800\neq 900 \]

cierto , quería decir 0 y 30  o 30 y 0

modifique la ecuación para que tenga otro tipo de solución ,que no salga el cero.
\( (m.c.m[a,b] )^2+(M.C.D[a,b])^2=800 \)
el cual por tanteos me arroja los números  (4,28) ,(20,20) ,(28,4) , pero no lo  logro encajar en tú desarrollo.




22 Agosto, 2020, 08:06 am
Respuesta #7

ingmarov

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Hola de nuevo , pensaba sin ningun procedimiento claro , con un poco de tanteo , los números podrian ser 30, 30  , pero no veo com encajan con tú desarrollo.

Entonces mcd(30,30)=mcm(30,30)=30

\[ 30^2+30^2=1800\neq 900 \]

cierto , quería decir 0 y 30  o 30 y 0

modifique la ecuación para que tenga otro tipo de solución ,que no salga el cero.
\( (m.c.m[a,b] )^2+(M.C.D[a,b])^2=800 \)
el cual por tanteos me arroja los números  (4,28) ,(20,20) ,(28,4) , pero no lo  logro encajar en tú desarrollo.





MI desarrollo tiene cosas que no ayudan, ya las he marcado.

Con la modificación tenemos

\[ D^2=\dfrac{800}{k^2+1} \]

800 tiene 18 divisores
[1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 80, 100, 160, 200, 400, 800]

si dividimos 800 entre cada uno de ellos ¿para cuáles obtenemos un numero cuadrado perfecto? o mejor ¿cuales de ellos son cuadrados perfectos ?

[4,16,25,100,400] estos son los valores posibles para \[ D^2 \] falta ver si tenemos un k entero

\[ \dfrac{800}{4}=200=k^2+1\quad \Rightarrow\quad k^2=199\quad \Rightarrow\quad k\approx 14.106 \]

\[ \dfrac{800}{16}=50=k^2+1\quad \Rightarrow\quad k^2=49\quad \Rightarrow\quad k= 7 \]

\[ \dfrac{800}{25}=32=k^2+1\quad \Rightarrow\quad k^2=31\quad \Rightarrow\quad k\approx 5.5677 \]

\[ \dfrac{800}{100}=8=k^2+1\quad \Rightarrow\quad k^2=7\quad \Rightarrow\quad k\approx 2.64 \]

\[ \dfrac{800}{400}=2=k^2+1\quad \Rightarrow\quad k^2=1\quad \Rightarrow\quad k= 1 \]


Entonces tenemos dos soluciones

mcm(a,b)=7mcd(a,b)

y

mcm(a,b)=mcd(a,b)

encontrar a y b para el último caso es sencillo.

Para el primero k=7

mcd(a,b)=4
mcm(a,b)=28

Continuaré mañana, ya me voy a dormir


Saludos

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22 Agosto, 2020, 10:25 am
Respuesta #8

geómetracat

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La ecuación \( (mcm(a,b))^2+(mcd(a,b))^2=c^2 \) no puede tener soluciones enteras no triviales (es decir, que \( a,b \) sean ambos distintos de cero).
En efecto, dividiendo ambos lados por \( mcd(a,b)^2 \) nos quedaría una ecuación diofántica de la forma
\( x^2+1=y^2 \). Pero esto es equivalente a \( (y-x)(y+x)=1 \) y de aquí se sigue inmediatamente que debe ser \( y=\pm 1,x=0 \), pero si \( a,b>0 \) entonces \( x=mcm(a,b)/mcd(a,b)>0 \), contradicción.

Esto soluciona el problema original porque \( 900=30^2 \), pero no el problema con lado derecho \( 800 \) porque \( 800 \) no es un cuadrado perfecto.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

22 Agosto, 2020, 12:35 pm
Respuesta #9

feriva

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Quizá también podría servir esto.

Tenemos \( c^{2}+d^{2}=k^{2}
  \); (“d” es el mcd y “c” el mcm ).

Es una terna pitagórica no primitiva (la igualdad tiene que existir para enteros positivos o negativos, por ser cuadrados).

Entonces, tomamos positivos y se demuestra que

\( c=m^{2}-n^{2}
  \)

\( d=2mn
  \) (si d es par)*

\( k=m^{2}+n^{2}
  \)

(tengo la demostración en algún hilo de por ahí, no es difícil; si acaso la busco).

donde “m” y “n” no son coprimos por no ser terna primitiva.

Sabemos que k=30, par, por lo que “m” y “n” tienen la misma paridad. Esto implica que “c” sea par y de ahí se deduce que “d” es par al serlo “k” y “c”. Luego la elección es correcta*

Entonces, si hacemos

\( 30-m^{2}=n^{2}
  \)

los cuadrados no negativos menores que 30 son 0, 1, 4, 9, 16, 25, pero al restar cualquiera de ellos a 30 ninguno da un cuadrado perfecto; luego “n” no puede ser entero.

(si no me he equivocado, que suele ser que sí).

Saludos.

22 Agosto, 2020, 07:42 pm
Respuesta #10

ingmarov

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Hola

Probemos con algo más complejo

\[ D^2+M^2=17065242 \]

Pongo de nuevo la ecuación que planteé

\[ D^2=\dfrac{17065242}{k^2+1} \]

1. Factorizamos el número

    \[ 17065242=2\cdot 3^4\cdot 105341 \]

2. \[ D^2 \] Puede ser 9 u 81

    para  \[ D^2=9 \] tenemos que \[ k^2+1=1896138\quad\Rightarrow\quad k\approx 1377.0029 \]    Descartamos este valor
   
    Para  \[ D^2=81 \] tenemos que  \[ k^2+1=210682\quad\Rightarrow\quad k=459 \]

3. Entonces D=9     y M=459D=4131

4. Los números a,b están en el intervalo [9,4131]
    a=D=9   y   b=M=4131    cumplen la ecuación original ¿Hay más parejas en el intervalo? Lo pruebo usando python
    Creo que solo una pareja más cumple (153,243)
    Aquí no tenemos solución única.

A seguir pensando en esto...

Cómo encontrar dos números conociendo su mcd y su mcm

https://www.youtube.com/watch?v=VlYOff0D4Zs


Saludos
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25 Agosto, 2020, 04:28 am
Respuesta #11

0_kool

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Bueno , gracias a todos por sus indicaciones , ingmarov con tu ejemplo me dejaste en el aire .Gracias por tu tiempo, y también el resto.

25 Agosto, 2020, 04:42 am
Respuesta #12

ingmarov

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Bueno , gracias a todos por sus indicaciones , ingmarov con tu ejemplo me dejaste en el aire .Gracias por tu tiempo, y también el resto.

Si no entiendes algo pregunta, no te rindas.
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
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25 Agosto, 2020, 10:16 am
Respuesta #13

feriva

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Bueno , gracias a todos por sus indicaciones

De nada.

Para \( ab
  \), \( b\, es\, primo
  \).

\( mcd(a,b)=d
  \); \( mcm(a,b)=m
  \)

\( d^{2}+m^{2}=842
  \)

Éste, por ejemplo, sí lo puedes hacer razonadamente

Spoiler

Simplemente teniendo en cuenta los casos y usando la conocida relación \( dm=ab
  \)

[cerrar]

Saludos.

26 Agosto, 2020, 02:10 am
Respuesta #14

ingmarov

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...

De nada.

Para \( ab
  \), \( b\, es\, primo
  \).

\( mcd(a,b)=d
  \); \( mcm(a,b)=m
  \)

\( d^{2}+m^{2}=842
  \)

...

A ver pruebo de nuevo con este problema. Para que 0kool pruebe antes, dejo mi solución en el spoiler.
Spoiler
\[ D^2=\dfrac{842}{k^2+1}=\dfrac{2\cdot 421}{k^2+1} \]       (421 es primo)

por lo que forzosamente \[ k^2+1=842\quad\Rightarrow\quad k^2=841=29^2 \]

Entonces tenemos que mcd(a,b)=1   mcm=29,   de nuevo tenemos a=1 b=29, en este caso es solución única
[cerrar]

Razonándolo el problema se resuelve más fácil, como ha dicho feriva.

Saludos
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