Autor Tema: Estudia derivabilidad de \(\frac{1}{x}\int_{0}^{x}\frac{g(t)}{t}dt\)

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20 Agosto, 2020, 11:36 pm
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Buscón

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Sea    \( g \)    una función derivable en    \( \mathbb{R} \)    y dos veces derivable en    \( 0 \),    siendo además    \( g(0)=0 \).    Estudia la derivabilidad de la función    \( f:\mathbb{R}\rightarrow{\mathbb{R}} \)    definida por:

\( f(0)=g'(0) \),             \( \displaystyle f(x)=\frac{1}{x}\cdot{\int_{0}^{x}}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt} \)       \( (x\neq 0) \).

¿Es    \( f \)    de clase    \( C^1 \)?


21 Agosto, 2020, 12:04 am
Respuesta #1

Buscón

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Se me ocurre

\( \displaystyle x\cdot{f(x)}=\int_{0}^{x}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt} \),

la parte derecha es derivable por ser composición de funciones derivables. Ello implica que la parte izquierda también lo es. Derivando ambos miembros

\( \displaystyle f(x)+x\cdot{f'(x)}=\frac{g(x)}{x} \)

\( \displaystyle x\cdot{}f(x)+x^2\cdot{f'(x)}=g(x) \)

Por hipótesis    \( g \)    es dos veces derivable, así que otra vez es posible derivar ambos miembros de la igualdad

\( g'(x)=f(x)+x\cdot{f'(x)}+2x\cdot{f(x)}+x^2\cdot{f''(x)} \)

con lo cual debería quedar probado que     \( f \)    es al menos dos veces derivable.

Con respecto a la pregunta yo diría que por ser dos veces derivable, sí es de clase    \( C^1 \).

:-\

Saludos y gracias.

21 Agosto, 2020, 01:22 am
Respuesta #2

delmar

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Hola Buscón

Creo que te has confundido al expresarte, al decir "la parte derecha es derivable por ser composición de funciones derivables", lo que se ve es que \( \frac{g(t)}{t} \) es continua \( \forall{t\neq 0} \) y que no esta definida en t=0; pero \( \exists{\lim_{t \to{}0}{\frac{g(t)}{t}}=g'(0)}  \) en consecuencia existe una función h(t) continua en todo R definida como :

\( h(0)=g'(0) \)

\( h(t)=\frac{g(t)}{t}, \ t\neq 0 \)

De tal manera que \( \int_{0}^{x}h(t) \ dt=\int_{0}^{x}\frac{g(t)}{t} \ dt \) y considerando la función h se puede aplicar el primer teorema fundamental del cálculo es decir \( \exists{(\int_{0}^{x}h(t) \ dt)'=h(t)} \) obviamente para x>0 pero se puede continuar analizando para x<0 y para x=0, esperamos tus avances.

Saludos

21 Agosto, 2020, 01:38 am
Respuesta #3

Buscón

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Hola Buscón

Creo que te has confundido al expresarte, al decir "la parte derecha es derivable por ser composición de funciones derivables", lo que se ve es que \( \frac{g(t)}{t} \) es continua \( \forall{t\neq 0} \) y que no esta definida en t=0; pero \( \exists{\lim_{t \to{}0}{\frac{g(t)}{t}}=g'(0)}  \) en consecuencia existe una función h(t) continua en todo R definida como :

Gracias.

La función    \( g \)    es por hipótesis, dos veces derivable. Entonces la integral es una composición de funciones derivables ¿No?

Seguramente me estoy liando para variar.     :)

Saludos.

EDITADO.

Derivable en    \( \mathbb{R}-\{0\} \)    claro, por que la igualdad se da, por definición, si    \( x\neq 0 \).    Claro, falta saber lo más importante, ¿que pasa con    \( f \)    en    x=0? Quizás calculando la derivada segunda de    \( g \)    se puede obtener el valor de    \( f(0) \)

21 Agosto, 2020, 01:56 am
Respuesta #4

Buscón

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Perdón

\( g'(0)=f(0)+0\cdot{f'(0)}+2\cdot{}0\cdot{f0)}+0^2\cdot{f''(0)}=0 \)

de donde    \( f(0)=0 \)

Falta saber que pasa con los límites de la función    \( f \)    cuando    \( x\rightarrow{0} \).    ¿Me estoy equivocando mucho?

EDITADO.

Ah, no, no, no! No se donde he sacado que    \( g'(0)=0 \).     >:(

21 Agosto, 2020, 12:12 pm
Respuesta #5

Buscón

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pero \( \exists{\lim_{t \to{}0}{\frac{g(t)}{t}}=g'(0)}  \)

Yo diría que lo que falta probar es que   

\( \displaystyle\lim_{x \to{0}\\x<0}{\left(\frac{1}{x}\cdot{\int_{0}^{x}}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt}\right)}=g'(0)=\lim_{x \to{0}\\x>0}{\left(\frac{1}{x}\cdot{\int_{0}^{x}}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt}\right)} \)
   

pero no veo como.

Saludos.

21 Agosto, 2020, 12:38 pm
Respuesta #6

geómetracat

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Yo diría que lo que falta probar es que   

\( \displaystyle\lim_{x \to{0}\\x<0}{\left(\frac{1}{x}\cdot{\int_{0}^{x}}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt}\right)}=g'(0)=\lim_{x \to{0}\\x>0}{\left(\frac{1}{x}\cdot{\int_{0}^{x}}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt}\right)} \)
   

pero no veo como.

Saludos.

Usa la regla de l'Hôpital para calcular el límite (fíjate que es una indeterminación del tipo \( 0/0 \)).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

21 Agosto, 2020, 01:31 pm
Respuesta #7

Buscón

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Yo diría que lo que falta probar es que   

\( \displaystyle\lim_{x \to{0}\\x<0}{\left(\frac{1}{x}\cdot{\int_{0}^{x}}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt}\right)}=g'(0)=\lim_{x \to{0}\\x>0}{\left(\frac{1}{x}\cdot{\int_{0}^{x}}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt}\right)} \)
   

pero no veo como.

Saludos.

Usa la regla de l'Hôpital para calcular el límite (fíjate que es una indeterminación del tipo \( 0/0 \)).

Muchas gracias.

\( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\frac{\int_{0}^{x}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt}}{x}}=\lim_{x \to{0}}{\frac{g(x)}{x}}=\lim_{x \to{0}}{g'(x)}=g'(0)=f(0) \)

Supongo que el razonamiento es que tanto el límite por la izquierda como el límite por la derecha coinciden, esto es, la derivada por la derecha y por la izquierda coinciden, así que la función puede ser derivable o no en    \( x=0 \)    dependiendo de como se defina    \( f(0) \).

:-\ :-\ :-\

EDITADO.

No consigo sacarle el jugo a que la función    \( f \)    en    \( x=0 \)    coincida con la derivada de    \( g \)    en    \( x=0 \).

21 Agosto, 2020, 09:25 pm
Respuesta #8

Buscón

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Hasta ahora los razonamientos son los siguientes:

\( \displaystyle f(x)=\int_{0}^{x}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt}\Leftrightarrow{x\cdot{f(x)}=\int_{0}^{x}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt}} \)       si    \( x\neq 0 \).

La función    \( g \),    por hipótesis, es derivable. La composiciónEl cociente    \( \displaystyle\frac{g(t)}{t} \)    es una composición un cociente de funciones derivables en    \( \mathbb{R} \)    así que también es derivable en    \( \mathbb{R}-\{0\} \).    El teorema fundamental del cálculo integral garantiza que no hay función más derivable que una función integral. Todo ello asegura que el miembro de la derecha de la igualdad es derivable en    \( \mathbb{R}-\{0\} \)    y es posible hacer

\( \displaystyle\big[x\cdot{f(x)}\big]'=\left[\int_{0}^{x}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt}\right]' \)       si    \( x\neq 0 \)

y deducir que si el  miembro de la derecha de la igualdad es derivable el miembro de la izquierda deber serlo también, esto es, la función    \( f \)    es derivable en    \( \mathbb{R}-\{0\} \). 

Ahora para que la función    \( f \)    sea derivable también en    \( x=0 \)    deberá ser    \( g'(0)=\displaystyle f(0)=\lim_{x \to{0}}{\left(\frac{1}{x}\cdot{\int_{0}^{x}}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt}\right)} \).

Resulta que el límite produce una indeterminación del tipo    \( \displaystyle\frac{0}{0} \),    al aplicar L'Hôpital dos veces se obtiene

\( \displaystyle\lim_{x \to{0}}{\frac{\int_{0}^{x}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt}}{x}}=\lim_{x \to{0}}{\frac{g(x)}{x}}=\lim_{x \to{0}}{g'(x)}=g'(0)=f(0) \)

Se  puede concluir entonces que efectivamente la función    \( f \)    es de clase    \( C^1 \).

Espero me corrijan si algo no es correcto.

Saludos y muchas gracias.

CORREGIDO por gentileza de delmar. Muchas gracias.

22 Agosto, 2020, 12:16 am
Respuesta #9

delmar

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La conclusión de que f es derivable con continuidad en \( x\neq 0 \) es correcta, el fundamento también es correcto, ahora entiendo que denominas composición al cociente. Otra forma es simplemente decir que por ser f el cociente de dos funciones continuas derivables con continuidad, también es continua con continuidad, obviamente en \( x\neq 0 \), las funciones serían \( \int_{0}^{x}\frac{g(t)}{t} \ dt \) y \( x \).

En efecto el verdadero problema es demostrar la existencia y continuidad de la derivada de f en 0. No entiendo bien lo que se ha puesto. La idea es utilizar la definición de derivada, es decir averiguar si existe :

\( \lim_{h \to{}0}{\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\lim_{h \to{}0}{\frac{(\frac{1}{h}) \ \int_{0}^{h}\frac{g(t)}{t} \ dt-g'(0)}{h}} \)

Y en efecto los límites del numerador y el denominador son cero y por ser derivables se ha de aplicar L'Hopital; pero varias veces y se llega a un valor de la derivada en cero, en el proceso se puede ver si es continua o no. Continúa en todo caso explica.

Saludos

22 Agosto, 2020, 01:06 am
Respuesta #10

Buscón

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La conclusión de que f es derivable con continuidad en \( x\neq 0 \) es correcta, el fundamento también es correcto, ahora entiendo que denominas composición al cociente. Otra forma es simplemente decir que por ser f el cociente de dos funciones continuas derivables con continuidad, también es continua con continuidad, obviamente en \( x\neq 0 \), las funciones serían \( \int_{0}^{x}\frac{g(t)}{t} \ dt \) y \( x \).

En efecto el verdadero problema es demostrar la existencia y continuidad de la derivada de f en 0. No entiendo bien lo que se ha puesto. La idea es utilizar la definición de derivada, es decir averiguar si existe :

\( \lim_{h \to{}0}{\frac{f(0+h)-f(0)}{h}}=\lim_{h \to{}0}{\frac{(\frac{1}{h}) \ \int_{0}^{h}\frac{g(t)}{t} \ dt-g'(0)}{h}} \)

Y en efecto los límites del numerador y el denominador son cero y por ser derivables se ha de aplicar L'Hopital; pero varias veces y se llega a un valor de la derivada en cero, en el proceso se puede ver si es continua o no. Continúa en todo caso explica.

Saludos

La función    \( \displaystyle f(x)=\begin{cases}g'(0),&\textrm{ si }x=0\\\\\displaystyle\frac{\int_{0}^{x}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt}}{x},&\textrm{ si }x\neq 0\end{cases} \)    será continua en    \( x=0 \)    si

\( \displaystyle\lim_{x \to{0}\\x<0}{\left(\frac{\int_{0}^{x}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt}}{x}\right)}=\lim_{x \to{0}\\x>0}{\left(\frac{\int_{0}^{x}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt}}{x}\right)}=f(0) \)

Aplicando L`Hôpital dos veces para calcular el límite, por ejemplo por la izquierda, (por la derecha es el mismo),

\( \displaystyle\lim_{x \to{0}\\x<0}{\left(\frac{\int_{0}^{x}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt}}{x}\right)}=\lim_{x \to{0}\\x<0}{\left(\frac{g(x)}{x}\right)}=g'(0)=f(0) \)

luego la función es continua en    \( x=0 \).   

Y efectivamente, me acabo de dar cuenta que hay que probar que es derivable en    \( x=0 \).    La continuidad no es condición suficiente de derivabilidad.

Gracias y saludos.

EDITADO.

Revisando un poco. Esos límites son precisamente las derivadas por la derecha y por la izquierda de la función     \( f \)    en    \( x=0 \)    y como coinciden resulta que es derivable la función en dicho punto.

Es falso que esos límites son las derivadas. Las derivadas son, (si es que existen),    \( \displaystyle\lim_{x \to{0}\\x<0}{\frac{f(x)-f(0)}{x-0}}=\lim_{x \to{0}\\x<0}{\left(\frac{\frac{\int_{0}^{x}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt}}{x}-\cancelto{g'(0)}{\frac{\int_{0}^{0}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt}}{x}}}{x}\right)}= \) ... ... ... y respectivamente para la derivada por la derecha. Y además me acabo de dar cuenta de que éste ejercicio viene como ejercicio resuelto en https://www.ugr.es/~fjperez/textos/calculo_diferencial_integral_func_una_var.pdf pág 415, Ejercicio resuelto 191.

CORREGIDO.

22 Agosto, 2020, 01:22 am
Respuesta #11

delmar

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Sí, ahí es demostrado que f es continua en cero, lo que se ha de averiguar adicionalmente  es la existencia de la derivada de f en cero y la continuidad de la derivada de f en cero. Por el método que he mostrado se puede demostrar la existencia de la derivada y su valor.


Saludos

Revisa bien ¿que sucede cuando \( f(0)=g'(0)\neq 0 \)?

22 Agosto, 2020, 04:16 pm
Respuesta #12

Buscón

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Sí, ahí es demostrado que f es continua en cero, lo que se ha de averiguar adicionalmente  es la existencia de la derivada de f en cero y la continuidad de la derivada de f en cero. Por el método que he mostrado se puede demostrar la existencia de la derivada y su valor.


Saludos

Revisa bien ¿que sucede cuando \( f(0)=g'(0)\neq 0 \)?

Si, gracias. Creo que la primera parte de la respuesta #8 es correcta con lo que debería estar probado que la función    \( f \)    es continua en    \( \mathbb{R} \)    y derivable en    \( \mathbb{R}-\{0\} \).   Es decir faltaría probar la derivabilidad de la función    \( f \)    en    \( x=0 \).    A pesar de que como ya he corregido en la respuesta #10 el ejercicio viene como ejercicio resuelto, continuaré con él hasta el final. Quizás sea útil para alguien.

Gracias delmar por la paciencia que estás demostrando. Los que somos torpes no tenemos más remedio que aprender a cabezazos.  :laugh:

22 Agosto, 2020, 10:28 pm
Respuesta #13

Buscón

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Para probar la derivabilidad de la función    \( f \)    en    \( x=0 \),   haciendo uso de que    \( g(0)=0 \),    es dos veces derivable en    \( x=0 \)   
 y que    \( f \)    es derivable en    \( \mathbb{R}-\{0\} \),    he intentado lo siguiente .

\( \begin{align*}\displaystyle f'(0)&=\lim_{x \to{0}}{\left(\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\right)}=\lim_{x \to{0}}{\left(\frac{\frac{\int_{0}^{x}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt}}{x}-g'(0)}{x}\right)}=\lim_{x \to{0}}{\left(\cancelto{\frac{0}{0}\rightarrow{\textrm{L'Hôpital}}}{\frac{\int_{0}^{x}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt}-x\cdot{}g'(0)}{x^2}}\right)}=\\\\
&=\lim_{x \to{0}}{\left(\frac{\frac{g(x)}{x}-g'(0)\color{red}\cancel{\color{black}-x\cdot{}g''(0)}}{2x}\right)}=\frac{1}{2}\cdot{\lim_{x \to{0}}{\left(\frac{g(x)-x\cdot{g'(0)}\color{red}\cancel{\color{black}-x^2\cdot{g''(0)}}}{x^2}\right)}}=\\\\
&=\frac{1}{2}\cdot{\lim_{x \to{0}}{\left(\cancelto{\frac{0}{0}\rightarrow{\textrm{L'Hôpital}}}{\frac{g(x)-x\cdot{g'(0)}}{x^2}}\right)}}\color{red}\cancel{\color{black}-\frac{g''(0)}{2}}\color{black}=\frac{1}{2}\cdot{\lim_{x \to{0}}{\left(\frac{g'(x)-g'(0)\color{red}\cancel{\color{black}-x\cdot{g''(0)}}}{2x}\right)}}\color{red}\cancel{\color{black}-\frac{g''(0)}{2}=}\\\\
&=\frac{1}{4}\cdot{\lim_{x \to{0}}{\left(\cancelto{g''(0)}{\frac{g'(x)-g'(0)}{x}}\right)}}\color{red}\cancel{\color{black}-\frac{g''(0)}{4}-\frac{g''(0)}{2}=\frac{g''(0)}{4}-\frac{g''(0)}{4}-\frac{g''(0)}{2}}\color{black}=\color{red}\cancel{\color{black}-}\color{black}\frac{g''(0)}{\color{red}\cancel{\color{black}2}\color{red}4}\end{align*} \)

Que no coincide del todo con la solución de la cita, aunque las conclusiones serían las mismas, si el límite existe es derivable. ¿Errores de cálculo? ¿Error en el planteamiento? :-\

Ahora si coincide

Saludos.


CORREGIDO. Muchas gracias delmar.





22 Agosto, 2020, 11:00 pm
Respuesta #14

delmar

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Para probar la derivabilidad de la función    \( f \)    en    \( x=0 \),   haciendo uso de que    \( g(0)=0 \),    es dos veces derivable en    \( x=0 \)   
 y que    \( f \)    es derivable en    \( \mathbb{R}-\{0\} \),    he intentado lo siguiente .

\( \begin{align*}\displaystyle f'(0)&=\lim_{x \to{0}}{\left(\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\right)}=\lim_{x \to{0}}{\left(\frac{\frac{\int_{0}^{x}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt}}{x}-g'(0)}{x}\right)}=\lim_{x \to{0}}{\left(\cancelto{\frac{0}{0}\rightarrow{\textrm{L'Hôpital}}}{\frac{\int_{0}^{x}\frac{g(t)}{t}\cdot{dt}-x\cdot{}g'(0)}{x^2}}\right)}=\\\\
&=\lim_{x \to{0}}{\left(\frac{\frac{g(x)}{x}-g'(0)-x\cdot{}g''(0)}{2x}\right)}=\\\\
\end{align*} \)

Que no coincide del todo con la solución de la cita, aunque las conclusiones serían las mismas, si el límite existe es derivable. ¿Errores de cálculo? ¿Error en el planteamiento? :-\

Saludos.


Hay un error en el último paso mostrado, el numerador es \( (\frac{g(x)}{x}-g'(0)) \) la derivada de una constante como \( g'(0) \) es cero.

Saludos