Autor Tema: Cálculo de integrales reales mediante integración de contorno y complejificación

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20 Agosto, 2020, 05:29 pm
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Cuando por ejemplo para resolver una integral real con singularidades usamos integración de contorno y el teorema de residuos aplicado a la prolongación analítica \( f(z) \) de \( f(x) \), ¿lleva implícita esta extensión analítica la complejificación de las aplicaciones lineales de la integral de la función \( f(x) \)? (Me refiero a las formas lineales desde un espacio vectorial a los reales determinada por la integral real)

21 Agosto, 2020, 03:18 pm
Respuesta #1

geómetracat

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No acabo de entender la pregunta. ¿A qué formas lineales te refieres exactamente?
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

21 Agosto, 2020, 05:57 pm
Respuesta #2

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No acabo de entender la pregunta. ¿A qué formas lineales te refieres exactamente?

Para llegar al contorno normalmente se pasa por la parametrización real de un camino cerrado en la integral real que será el contorno de la integral compleja, y la integración como operación determina una forma lineal entre el espacio vectorial \( \mathbb{R^2} \) en que se da esta curva y \( R \).  La pregunta, que quizás sea muy obvia pero no estoy seguro de no estar confundiendo conceptos, es si esta forma lineal al extender la integral su dominio al plano complejo se complejifica también como lo hace el dominio y tenemos una forma lineal desde \( \mathbb{C^2} \) a \( \mathbb{C} \) en la integral de contorno compleja(del que seleccionamos una parte real de \( z \) al resolver la integral real claro).

21 Agosto, 2020, 08:09 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Sigo sin entenderlo bien. Lo único que se me ocurre ahora mismo parecido a lo que dices es que dada una curva \( \gamma \) en el plano complejo, \( f \mapsto \int_\gamma f \) es una forma lineal, pero esta no es en \( \Bbb R^2 \) sino en un espacio de funciones. No sé si es a esto a lo que te refieres.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

21 Agosto, 2020, 10:45 pm
Respuesta #4

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Sigo sin entenderlo bien. Lo único que se me ocurre ahora mismo parecido a lo que dices es que dada una curva \( \gamma \) en el plano complejo, \( f \mapsto \int_\gamma f \) es una forma lineal, pero esta no es en \( \Bbb R^2 \) sino en un espacio de funciones. No sé si es a esto a lo que te refieres.
No, perdona. La forma \( \mathbb{R^2}\rightarrow\mathbb{R} \) creo que sería la de la integral de caminos real, la que yo pregunto si se complejifica al extenderse el dominio al plano complejo en la integral de contorno compleja que se usa normalmente para resolver/evaluar la real usando residuos.

21 Agosto, 2020, 11:18 pm
Respuesta #5

geómetracat

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Sigo sin entender el planteamiento. ¿Cuál es exactamente la forma \( \Bbb R^2 \to \Bbb R \)? Es decir, esta forma asigna a un vector \( (a,b)\in \Bbb R^2 \) qué número real?
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

22 Agosto, 2020, 10:22 am
Respuesta #6

Restituto

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Sigo sin entender el planteamiento. ¿Cuál es exactamente la forma \( \Bbb R^2 \to \Bbb R \)? Es decir, esta forma asigna a un vector \( (a,b)\in \Bbb R^2 \) qué número real?
El planteamiento es profundamente incorrecto, disculpa, lo que he escrito no vale.  Para intentar salvar algo el hilo cambiaré a una  pregunta abierta: cuando se aplican los residuos para resolver integrales definidas e impropias reales, se recurre a la extensión analítica del integrando al plano complejo y se le aplica el teorema de residuos. Esta extensión ¿qué implica en términos de complejificación? ¿la del dominio de la función real integrada únicamente?
Parte de mi confusión venía de que a veces se habla de complejificación de la función pero creo que es un abuso del lenguaje ya que se complejifican espacios vectoriales y por tanto no funciones en general sino transformaciones lineales.

Para contestar a tu pregunta directa los reales a los que me refería eran los resultados de la integración pero ya digo que el planteamiento estaba confundido, estaba mezclando la operación de integración con la función integrada y liándolo todo. Gracias por la paciencia.

22 Agosto, 2020, 11:06 am
Respuesta #7

geómetracat

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Ok, no pasa nada.

Lo de complejificación para referirse a pasar de una función real a su prolongación analítica en el plano complejo a mí me parece un abuso de lenguaje, sí. En principio no tiene nada que ver con la complejificación de espacios vectoriales.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

22 Agosto, 2020, 05:20 pm
Respuesta #8

Restituto

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Ok, no pasa nada.

Lo de complejificación para referirse a pasar de una función real a su prolongación analítica en el plano complejo a mí me parece un abuso de lenguaje, sí. En principio no tiene nada que ver con la complejificación de espacios vectoriales.
Gracias. Eso me pareció. Salvo quizás si consideramos \( \mathbb{R} \) un espacio vectorial que se complejifica a \( \mathbb{C} \) en el dominio.