Autor Tema: ¿Cómo definir subobjetos minimales?

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20 Agosto, 2020, 08:42 am
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malboro

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Hola de nuevo.

Algunas definiciones: Sean  una C categoría y \(  A \) un objeto fijo de C. Dados los monomorfismos \( f:X\rightarrow{A} \), \( g:Y\rightarrow{A}  \) en C, diremos que
\( g<f  \) si existe  una flecha \( h:Y\rightarrow{X}  \) en C tal que \( f\circ{h}=g  \).
Ahora vamos a definir una relación de equivalencia en el conjunto de los monomorfismos  que van hacia el objeto \( A  \): \( f\sim{g}  \) si y solo si \(  f<g \) y \( g<f  \). Dado \( h:Z\rightarrow{A}  \) un monomorfismo, entonces la clase \( \overline{h}=\left\{{f \mid  f\sim{h}}\right\}  \) es el conjunto de los subobjetos de \( A  \). Al conjunto de los monomorfismos  que van hacia el objeto \( A  \) lo vamos a denotar por \( Mon_A  \).

Sea C una categoría localmente pequeña (para cada \( A, B \) en C, se tiene que  \( Mor(A,B)  \) es un conjunto) y denotaremos por  \( \overline{Mon}_A  \) al conjunto de las clases de equivalencia  \( \overline{h}=\left\{{f \mid  f\sim{h}}\right\}  \).

Mi pregunta es: ¿Cómo defino un subobjeto minimal en un subconjunto de \( \overline{Mon}_A  \)?

Muchas gracias





Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.

20 Agosto, 2020, 09:42 am
Respuesta #1

geómetracat

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En una categoría arbitraria no tiene por qué haber un elemento minimal. Por ejemplo, considera el orden \( \Bbb Z \) como categoría (es decir, cada entero es un objeto y hay un morfismo \( m \to n \) si y solo si \( m \leq n \)). En esta categoría todos los morfismos son monomorfismos, y claramente el \( 0 \) (o cualquier otro entero, de hecho) no tiene subobjetos minimales.

Ahora bien, si la categoría es completa (existen los límites pequeños), puedes tomar un representante de cada clase de tu subconjunto y hacer el límite del diagrama que obtienes al considerar todos los morfismos \( B_i \to A \). Si solamente tuvieras dos clases, el límite sería un pullback. A este límite se le llama intersección del conjunto de subobjetos (porque es el ínfimo del conjunto de subobjetos respecto de la relación de orden que has dado), y puedes comprobar que la intersección de todos los subobjetos es el subobjeto mínimo.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)