Autor Tema: El problema (estocástico) de la rana

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29 Mayo, 2020, 04:25 pm
Respuesta #20

martiniano

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Hola.

Disculpad que le esté dando vueltas a esto después de tanto tiempo. Es que últimamente me ha dado por tomar nota de problemas que me gustan, por eso de que la información es menos vulnerable en formato analógico, y hoy le ha tocado a éste.

Si no me equivoco, Masacroso, tienes algunas pequeñas erratas aquí:

Esto de las asíntotas viene porque para \( n=2 \) la función de densidad se puede calcular explícitamente ya que

\( \displaystyle f_{Y_2}(x)=\frac{d}{dx} \Pr[2+2\cos (X)\le \color{red}x^2\color{black}]=\Pr[\cos(X)\le x^2/2-1] \)

Ahora bien, como la función coseno es simétrica respecto del eje de ordenadas entonces, geométricamente, es claro que

\( \displaystyle {\Pr[\cos(X)\le c]=\begin{cases}1-\pi^{-1}\arccos(c),& c\in [-1,1] \\
1,& c>1\\ 0, &\text{ otra cosa}\end{cases}} \)

cuando \( X\sim U[-\pi,\pi] \). De ahí deducimos que

\( \displaystyle f_{Y_2}(x)=\frac1{\pi\sqrt{1-(x/2)^2}}\chi_{[0,2]}(x) \)

A PARTIR DE AQUÍ ESTÁ ERRÓNEO
En lo que te he marcado en rojo creo que debería haber \( x \), ¿verdad? Me parece que al derivar para hallar la función de densidad también has cometido algún error. A mí el resultado me queda algo así:

\( f_{Y_2}(x)=\frac{1}{\pi\sqrt[ ]{x(2-x)}}\cdot{}\chi_{[0,2]}(x) \)

Mira a ver qué opinas. Un saludo.

29 Mayo, 2020, 05:41 pm
Respuesta #21

Masacroso

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Hola.

Disculpad que le esté dando vueltas a esto después de tanto tiempo. Es que últimamente me ha dado por tomar nota de problemas que me gustan, por eso de que la información es menos vulnerable en formato analógico, y hoy le ha tocado a éste.

Si no me equivoco, Masacroso, tienes algunas pequeñas erratas aquí:

Esto de las asíntotas viene porque para \( n=2 \) la función de densidad se puede calcular explícitamente ya que

\( \displaystyle f_{Y_2}(x)=\frac{d}{dx} \Pr[2+2\cos (X)\le \color{red}x^2\color{black}]=\Pr[\cos(X)\le x^2/2-1] \)

Ahora bien, como la función coseno es simétrica respecto del eje de ordenadas entonces, geométricamente, es claro que

\( \displaystyle {\Pr[\cos(X)\le c]=\begin{cases}1-\pi^{-1}\arccos(c),& c\in [-1,1] \\
1,& c>1\\ 0, &\text{ otra cosa}\end{cases}} \)

cuando \( X\sim U[-\pi,\pi] \). De ahí deducimos que

\( \displaystyle f_{Y_2}(x)=\frac1{\pi\sqrt{1-(x/2)^2}}\chi_{[0,2]}(x) \)

En lo que te he marcado en rojo creo que debería haber \( x \), ¿verdad? Me parece que al derivar para hallar la función de densidad también has cometido algún error. A mí el resultado me queda algo así:

\( f_{Y_2}(x)=\frac{1}{\pi\sqrt[ ]{x(2-x)}}\cdot{}\chi_{[0,2]}(x) \)

Mira a ver qué opinas. Un saludo.

Puede haber un error pero eso que remarcas creo que está bien (aunque se me ha olvidado poner el operador derivada en una parte). Si \( Y_2=|e^{iX_1}+e^{i X_2}| \) entonces

\( \displaystyle{
e^{iX_1}+e^{i X_2}=e^{i X_2}(1+e^{i(X_1-X_2)})\implies  |e^{iX_1}+e^{i X_2}|^2=|1+e^{i(X_1-X_2)}|^2\\
=(1+ \cos (X_1-X_2))^2+ \sin (X_1-X_2)^2=2+2 \cos (X_1-X_2)\\
\therefore\quad \Pr [Y_2\leqslant c]=\Pr [2+2 \cos (X_1-X_2)\leqslant  c^2]= \Pr [ \cos (X_1-X_2)\leqslant  c^2/2-1]
} \)

Si \( X_1,X_2\sim U[-\pi,\pi] \) entonces \( Z:=X_1-X_2 \) tiene densidad

\( \displaystyle{
f_Z(c)=f_{X_1}*f_{-X_2}(c)= \int_{{\mathbb R}} \frac1{2\pi}\mathbf{1}_{[-\pi,\pi]}(x-c)\frac1{2\pi}\mathbf{1}_{[-\pi,\pi]}(-x)\mathop{}\!dx=  \frac{2\pi-|c|}{4\pi^2}\chi_{[-2\pi,2\pi]}(c)
} \)

Hay que corregir algunas cosas, sí. En principio voy a eliminar la densidad errónea, es decir que en principio la fórmula para \( f_{Y_2} \) no es la dada en respuestas anteriores ya que \( Z \) tiene distribución triangular y no uniforme.

29 Mayo, 2020, 08:57 pm
Respuesta #22

martiniano

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Hola.

Puede haber un error pero eso que remarcas creo que está bien (aunque se me ha olvidado poner el operador derivada en una parte). Si \( Y_2=|e^{iX_1}+e^{i X_2}| \) entonces

\( \displaystyle{
e^{iX_1}+e^{i X_2}=e^{i X_2}(1+e^{i(X_1-X_2)})\implies  |e^{iX_1}+e^{i X_2}|^2=|1+e^{i(X_1-X_2)}|^2\\
=(1+ \cos (X_1-X_2))^2+ \sin (X_1-X_2)^2=2+2 \cos (X_1-X_2)\\
\therefore\quad \Pr [Y_2\leqslant c]=\Pr [2+2 \cos (X_1-X_2)\leqslant  c^2]= \Pr [ \cos (X_1-X_2)\leqslant  c^2/2-1]
} \)

Sí. Si es que tienes razón. Me he despistado yo. Por cierto, que al mismo resultado se puede llegar geométricamente con el teorema del coseno.

Hay que corregir algunas cosas, sí. En principio voy a eliminar la densidad errónea, es decir que en principio la fórmula para \( f_{Y_2} \) no es la dada en respuestas anteriores ya que \( Z \) tiene distribución triangular y no uniforme.

Creo que en el fondo va a dar lo mismo, aunque \( Z \) sea triangular, al aplicarle el coseno, con sus propiedades va a dar lo mismo.

EDITADO
De todas formas, estoy de acuerdo en que la fórmula que diste en su día es errónea, creo que por la derivada del arcocoseno. La que te he dado yo antes también está mal.

Gracias y saludos.

30 Mayo, 2020, 01:46 am
Respuesta #23

Masacroso

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Creo que en el fondo va a dar lo mismo, aunque \( Z \) sea triangular, al aplicarle el coseno, con sus propiedades va a dar lo mismo.

Al final esto \( f_{Y_2}(x)=\frac1{\pi\sqrt{1-(x/2)^2}}\chi_{[0,2]}(x) \) es correcto, es decir, es la densidad correcta de \( Y_2 \). Pero en su día no recuerdo haber calculado ni utilizado una densidad triangular, a lo mejor lo hice, omití los pasos y lo había olvidado :D

30 Mayo, 2020, 04:54 am
Respuesta #24

Richard R Richard

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  • Oh Oh!!! me contestó... y ahora qué le digo...
Solo una acotación, con un dato de color, quiza una aplicación física la cual aplicar este modelo... hace un tiempo estuve leyendo unos paper y creo que  aplicable para  calcular el tiempo medio en que los fotones tardan en salir desde el centro del sol hasta la superficie....


https://www.mit.edu/~kardar/teaching...dt)/random.htm
https://www.feynmanlectures.caltech.edu/I_41.html
https://en.wikipedia.org/wiki/Mean_free_path

la principal diferencia que veo, es que no siempre en esos modelos la distancia entre absorción y emisión de fotones tenga que darse en una distancia siempre equidistante.
Saludos  \(\mathbb {R}^3\)

30 Mayo, 2020, 08:11 am
Respuesta #25

martiniano

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Hola.

Por cierto, que la distribución asintótica de \( Y_n \), que ya se describió, es una distribución de Rayleigh de parámetro \( \sigma=\sqrt[ ]{\frac{n}{2}} \).

Un saludo.

30 Mayo, 2020, 09:43 am
Respuesta #26

geómetracat

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Creo que en el fondo va a dar lo mismo, aunque \( Z \) sea triangular, al aplicarle el coseno, con sus propiedades va a dar lo mismo.

Al final esto \( f_{Y_2}(x)=\frac1{\pi\sqrt{1-(x/2)^2}}\chi_{[0,2]}(x) \) es correcto, es decir, es la densidad correcta de \( Y_2 \). Pero en su día no recuerdo haber calculado ni utilizado una densidad triangular, a lo mejor lo hice, omití los pasos y lo había olvidado :D

Puedes calcularlo con una distribución uniforme (que como ya habéis comprobado da lo mismo). La idea es que si quieres calcular la distancia en dos pasos, lo puedes pensar de dos formas equivalentes.

La primera es como lo habías hecho: la rana escoge el ángulo \( X_1 \) y salta, luego escoge el ángulo \( X_2 \) y salta.

Otra manera es pensar del siguiente modo, explotando la simetría del problema. La rana da un salto (en cualquier dirección). Haga lo que haga se encuentra a distancia \( 1 \). Como la distancia es invariante bajo rotaciones, podemos suponer sin pérdida de generalidad que se encuentra en el punto \( (1,0) \). Ahora elige un ángulo \( X \), con distribución uniforme y salta. La distancia será:
\( Y_2 = \sqrt{(1+\cos(X))^2 + \sin^2(X)} = \sqrt{2 + 2\cos(X)} \)
que es la misma expresión que antes.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

30 Mayo, 2020, 01:39 pm
Respuesta #27

Masacroso

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Creo que en el fondo va a dar lo mismo, aunque \( Z \) sea triangular, al aplicarle el coseno, con sus propiedades va a dar lo mismo.

Al final esto \( f_{Y_2}(x)=\frac1{\pi\sqrt{1-(x/2)^2}}\chi_{[0,2]}(x) \) es correcto, es decir, es la densidad correcta de \( Y_2 \). Pero en su día no recuerdo haber calculado ni utilizado una densidad triangular, a lo mejor lo hice, omití los pasos y lo había olvidado :D

Puedes calcularlo con una distribución uniforme (que como ya habéis comprobado da lo mismo). La idea es que si quieres calcular la distancia en dos pasos, lo puedes pensar de dos formas equivalentes.

La primera es como lo habías hecho: la rana escoge el ángulo \( X_1 \) y salta, luego escoge el ángulo \( X_2 \) y salta.

Otra manera es pensar del siguiente modo, explotando la simetría del problema. La rana da un salto (en cualquier dirección). Haga lo que haga se encuentra a distancia \( 1 \). Como la distancia es invariante bajo rotaciones, podemos suponer sin pérdida de generalidad que se encuentra en el punto \( (1,0) \). Ahora elige un ángulo \( X \), con distribución uniforme y salta. La distancia será:
\( Y_2 = \sqrt{(1+\cos(X))^2 + \sin^2(X)} = \sqrt{2 + 2\cos(X)} \)
que es la misma expresión que antes.

Ah, sí, eso fue lo que hice la primera vez, por eso no recordaba haber utilizado una distribución triangular.

21 Agosto, 2020, 10:10 am
Respuesta #28

Masacroso

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Actualizo ligeramente este tema. He conseguido hacer una versión web con gráficos más interactivos, que está alojada aquí, lo he conseguido exportando un notebook de la librería Pluto.jl a HTML, que a diferencia de hacerlo desde un notebook de Jupyter inserta directamente los applets de javascript interactivos, y por tanto conserva la funcionalidad una vez exportado.

El notebook (no la página web exportada de él, de momento) se puede hacer muy interactivo (de hecho este tipo de notebook se diseñó específicamente para la interactividad y la exploración de código), añadiéndole botones y funciones de todo tipo y re-ejecutando según sea necesario trozos de código, lo que permite aprender cómo funciona un lenguaje de programación (en este caso Julia) de manera más eficaz que la manera tradicional.

El problema es que, al ser una librería muy nueva y en rápido crecimiento, el estilo de la página web exportada (y del notebook mismo) no es el mejor, es decir, no se ve tan bien como la versión del notebook de Jupyter previamente enlazada en este mismo hilo. Bueno y es que en lo que es el diseño web si hubiese utilizado javascript en vez de julia para escribir el código la facilidad de generar páginas webs interactivas sería muchísimo mayor pero claro que javascript no es un lenguaje de cálculo numérico/matemático como julia.

21 Agosto, 2020, 01:10 pm
Respuesta #29

geómetracat

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 :aplauso: :aplauso: :aplauso:
He mirado el documento y me ha gustado mucho. Felicidades, me parece un gran trabajo
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)