Hola. Hay que ser más fino con las cotas porque \( \displaystyle\sum_n \frac{n^{n+1}}{n!\, 2^n} \) diverge.
Un camino es usar primero el criterio de la razón para demostrar que la serie converge para todo \( x\neq 1 \). Ahora, como
\( \displaystyle \frac{n^n}{e^{n-1}} \leqslant n! \leqslant \dfrac{n^{n+1}}{e^{n-1}}, \)
se puede probar que \( \sum f_n(1) \) diverge porque \( \lim_n f_n(1)\neq 0 \).
Para cualquier \( \varepsilon >0 \), puedes encontrar un \( \alpha<e^{-1} \) de tal forma que sobre el conjunto \( [0,1-\varepsilon]\cup [1+\varepsilon,\infty) \) se tiene
\( f_n(x)< \dfrac{n^{n+1}}{n!}\alpha^n, \)
y ahí puedes aplicar el teorema de Weierstrass, por lo que hay convergencia uniforme en ese conjunto. (Esto sale de que el máximo de la función \( xe^{-x} \) es \( e^{-1} \) y se alcanza precisamente en x=1.) Hay que hacer algo más para ver que no se tiene convergencia uniforme en \( [0,1)\cup (1,\infty), \) que sospecho que es lo que pasa.
