[YeffGC]

hola  alguien tiene sugerias o ayudarme como proceder con este problema :

Estudie  la convergencia puntual y uniforme de la serie
\(   \sum f_n(x) \)  donde

\( f_n(x)=\displaystyle\frac{n^{n+1}}{n!}x^n e^{-nx} \)  para \(  x\geq{ 0} \)

[robinlambada]

Hola

hola  alguien tiene sugerias o ayudarme como proceder con este problema :

Estudie  la convergencia puntual y uniforme de la serie
\(   \sum f_n(x) \)  donde

\( f_n(x)=\displaystyle\frac{n^{n+1}}{n!}x^n e^{-nx} \)  para \(  x\geq{ 0} \)

Prueba a usar criterio de Weierstrass , teniendo en cuenta que $$x^n e^{-nx}<\left({\dfrac{1}{2}}\right)^n \, \forall{}x\geq{}0$$, a ver si te ayuda.

Saludos.

[Gustavo]

Hola. Hay que ser más fino con las cotas porque \(  \displaystyle\sum_n \frac{n^{n+1}}{n!\, 2^n} \) diverge.

Un camino es usar primero el criterio de la razón para demostrar que la serie converge para todo \( x\neq 1 \). Ahora, como

\( \displaystyle \frac{n^n}{e^{n-1}} \leqslant n! \leqslant \dfrac{n^{n+1}}{e^{n-1}}, \)

se puede probar que \(  \sum f_n(1) \) diverge porque \( \lim_n f_n(1)\neq 0 \).

Para cualquier \( \varepsilon >0 \), puedes encontrar un \( \alpha<e^{-1} \) de tal forma que sobre el conjunto \( [0,1-\varepsilon]\cup [1+\varepsilon,\infty) \) se tiene

\( f_n(x)< \dfrac{n^{n+1}}{n!}\alpha^n, \)

y ahí puedes aplicar el teorema de Weierstrass, por lo que hay convergencia uniforme en ese conjunto. (Esto sale de que el máximo de la función \( xe^{-x} \) es \( e^{-1} \) y se alcanza precisamente en x=1.) Hay que hacer algo más para ver que no se tiene convergencia uniforme en \( [0,1)\cup (1,\infty), \) que sospecho que es lo que pasa.