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Hay que demostrar que \( 7^{9999} - 857143 \equiv{}0 (10^6) \)
O lo que es lo mismo \( \dfrac{7^{10^5} - 6\cdot{}10^6-1 }{7}\equiv{}0 (10^6) \) es decir:
\( 7^{10^5} - 6\cdot{}10^6-1 \equiv{}0 (10^6) \Leftrightarrow{}7^{10^5} -1 \equiv{}0 (10^6) \)
Esta última igualdad \( \boxed{7^{10^5} -1 \equiv{}0 (\, mod\, 10^6 )} \) tenemos al menos 2 caminos de demostración:
Camino A. (Usando las fórmulas de Euler : \( 7^{4*10^5}-1 \equiv{} 0 \,(10^6) \) y $$ 7^{32}-1 \equiv{} 0 \, (64) $$ , notando que $$2^5=32\,y\,2^6=64$$ )
Sea $$a= 7^{10^5}$$ , Por Euler $$a^4-1\equiv{}0\Leftrightarrow{} (a^2+1)(a+1)(a-1)\equiv{} 0 (10^6)$$
Vamos a demostrar que ni $$(a^2+1)$$, ni $$(a+1)$$ son múltiplos de 5
$$7^{10^5}+1\equiv{}(-3)^{10^5}+1 \rightarrow{}(-1)^{5^52^4}+1 \equiv{}1+1\,(mod\, 10)$$ (1)
De igual forma se hace con $$(a^2+1)$$, $$(a^2+1)\equiv{}(-1)^{10^5}+1\equiv{}1+1\,(mod\,10)$$ (2)
De (1) y (2) se observa que ambos factores son pares pero no múltiplos de 5 por terminar en 2 ( por ello $$(a-1)$$ es múltiplo de $$5^6$$ .
A continuación demuestro que $$(a-1)$$ es múltiplo de $$2^6=64$$
Por el teorema de Euler $$7^{32}\equiv{}1 \, mod\, 64$$
$$10^5=3125\cdot{}32\Leftrightarrow{}7^{10^5}-1\equiv{} 1^{3125} -1\equiv{0}\, (mod\, 2^6)$$
Por ser 2 y 5 coprimos se concluye que $$7^{10^5} -1 \equiv{}0 \,(10^6)$$
Camino B. (Usando las fórmulas de Euler: \( 7^{4\cdot{}5^5}-1 \equiv{} 0 \,(5^6) \) y $$ 7^{32}-1 \equiv{} 0 \, (64) $$ , notando que $$2^5=32\,y\,2^6=64$$ )
-B1 Por el teorema de Euler $$7^{32}\equiv{}1 \, mod\, 64$$
$$10^5=3125\cdot{}32\Leftrightarrow{}7^{10^5}-1\equiv{} 1^{3125} -1\equiv{0}\, mod\, 64$$
-B2 Por el teorema de Euler $$7^{4\cdot{}5^5}-1 \equiv{} 0 \,(5^6)$$ Como $$ 10^5=8(4\cdot{}5^5)$$
$$7^{10^5}-1\equiv{} (7^{4\cdot{}5^5})^8\equiv{}1^8-1\equiv{}0\, (5^6)$$
Por ser 2 y 5 coprimos se concluye que $$7^{10^5} -1 \equiv{}0 \,(10^6)$$
Saludos.
