Autor Tema: Demostración

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11 Agosto, 2020, 09:58 pm
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Mariomarquez

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Hola! Alguien sabe resolver el siguiente ejercicio:


Demostrar que \( 2(\sqrt[ ]{n+1}- \sqrt[ ]{n})<\frac{1}{\sqrt[ ]{n}}<2(\sqrt[ ]{n}-\sqrt[ ]{n-1}) \) para \( n\geq{1} \). Utilicese luego este resultado para demostrar que

\( 2\sqrt[ ]{m}-2<\sum_{n=1}^m{\frac{1}{\sqrt[ ]{n}}}<2\sqrt[ ]{m}-1 \) si \( m\geq{2} \).En particular, cuando \( m=10^6 \), la suma esta entre \( 1998 \) y \( 1999 \).

La primera demostración conseguí hacerla, pero no se demostrar la segunda a partir de la primera.

Gracias. Un saludo!


11 Agosto, 2020, 10:56 pm
Respuesta #1

delmar

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Hola

Observa :

\( 2\sqrt[ ]{1+1}-2\sqrt[ ]{1}<\frac{1}{\sqrt[ ]{1}}\leq{2\sqrt[ ]{1}-1} \)

\( 2\sqrt[ ]{2+1}-2\sqrt[ ]{2}<\frac{1}{\sqrt[ ]{2}}<2\sqrt[ ]{2}-2\sqrt[ ]{1} \)


\( 2\sqrt[ ]{3+1}-2\sqrt[ ]{3}<\frac{1}{\sqrt[ ]{3}}<2\sqrt[ ]{3}-2\sqrt[ ]{2} \)


....


\( 2\sqrt[ ]{m+1}-2\sqrt[ ]{m}<\frac{1}{\sqrt[ ]{m}}<2\sqrt[ ]{m}-2\sqrt[ ]{m-1} \)

Al sumar se tiene :

\( 2\sqrt[ ]{m+1}-2<\sum_{n=1}^m{\frac{1}{\sqrt[ ]{n}}}<2\sqrt[ ]{m}-1 \)

Pero : \( 2\sqrt[ ]{m}-2<2\sqrt[ ]{m+1}-2 \) en consecuencia ya se tiene la demostración, verifica la suma y observa la primera inecuación derecha, en donde aparece un menor igual.



Saludos