Autor Tema: Polinomio irreducible.

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08 Agosto, 2020, 08:56 pm
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S.S

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Hola a todos.
Me encontré con esta proposición y quise probarla sin ver y tengo problemas con ciertos detalles.

Sea \( p \) un entero primo. Si \( p(x) = \sum_{i=1}^p{x^{p-i}}  \), entonces \( p(x) \) es irreducible en \( \mathbb{Q}[x] \).

La prueba clasica es definir \( g(x)=\frac{p(x)}{x-1} \)  y ver que sucede con  \( g(x +1) \). ( La mire cuando ya no pude).

Intente hacer (siguiendo un camino natural) \( p(x+1) = \sum_{i=1}^p{(x+1)^{p-i}}  \) luego desarrollé cada \( (x+1)^{p-i} \) y note lo siguiete:

\(  x^{p-1} \) aparece solo una vez.
\(  x^{p-2} \) aparece dos veces, con coeficientes: \(  p-1 \choose 1  \) y \(  p-2 \choose 0  \).
\(  x^{p-3} \) aparece tres veces, con coeficientes: \(  p-1 \choose 2  \) y \(  p-2 \choose 1  \) y \(  p-3 \choose 0  \).
\(  x^{p-4} \) aparece cuatro veces, con coeficientes: \(  p-1 \choose 3  \) y \(  p-2 \choose 2  \) y \(  p-3 \choose 1  \) y \(  p-4 \choose 0  \).
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\(  x  \) aparece \(  p-1  \) veces. \(  p-1 \choose p-2  \) y \(  p-2 \choose p-3  \) y \(  p-3 \choose p-4  \)... ¿?
\( 1 \) aparece p veces.

La dificultad esta en lo siguiente:
1. No pude determinar el termino final de \(  x  \) por eso aparecen ¿?.
2. Deseo hallar una formula general que sume los coeficientes de cada  \( (x+1)^{p-i} \) (algo como\(  \sum_{i=1}^p{p-k \choose p-1-k}  \), (esto es solo un decir) ) para poder notar que cada coeficiente de  \( (x+1)^{p-i} \)  es divisible por \(  p  \) y usar el criterio de Eisenten.
Gracias.