Autor Tema: Condiciones de optimización

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08 Agosto, 2020, 06:43 pm
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malboro

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Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.

08 Agosto, 2020, 09:18 pm
Respuesta #1

delmar

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Hola

Para el segundo link.

Se busca el máximo de una función f :

\( f:D\rightarrow{R} \)

\( (x_1,x_2)\rightarrow{f(x_1,x_2)=p_1x_1+p_2x_2} \)

\( D=\left\{{(x_1,x_2)\in{R^2} \ / \ c_1\leq{x_1}\leq{0}, \ 0\leq{x_2}\leq{c_2\sqrt[ ]{-x_1}}}\right\} \)

Donde : \( p_1,p_2\geq{0}, \ c_1<0,c_2>0 \) son constantes. Es conveniente dibujar D

f es campo escalar de dos variables, diferenciable y continuo en \( R^2 \) en consecuencia en D (cerrado y acotado) existe un máximo y un mínimo.

Hay dos alternativas :

1) El máximo ocurre en el interior de D  2) El máximo ocurre en la frontera de D

Alternativa 1)

\( D_1f(x_1,x_2)=p_1 \)

\( D_2f(x_1,x_2)=p_2 \)

Para que ocurra en el interior necesariamente \( p_1=p_2=0 \) es decir f es la función nula y el máximo es 0

Alternativa 2)

La frontera es la reunión de tres líneas, un segmento en el eje \( x_1 \), un segmento vertical a la distancia \( -c_1 \) del eje \( x_2 \) y una parte de la curva \( \sqrt[ ]{-x_1} \) en detalle :

\( r_1:R\rightarrow{R^2} \)

\( t\rightarrow{r_1(t)=(t,0)} \) donde \( c_1\leq{t}\leq{0} \)

\( r_2:R\rightarrow{R^2} \)

\( t\rightarrow{r_2(t)=(c_1,t)} \) donde \( 0\leq{t}\leq{c_2\sqrt[ ]{c_1}} \)

\( r_3:R\rightarrow{R^2} \)

\( t\rightarrow{r_3(t)=(t,c_2\sqrt[ ]{-t})} \) donde \( c_1\leq{t}\leq{0} \)

La función en cada una de estas líneas, es una función de una sola variable, continua y derivable, la idea es hallar el máximo en cada trozo y luego por comparación el máximo de f

Solamente para mostrar un poco más, la función en la primera línea es : \( f(r_1(t))=p_1t, \ c_1\leq{t}\leq{0} \) por ser continua ocurre un máximo ¿donde interior o frontera?

Si es en el interior necesariamente \( f \ '(r_1(t))=p_1=0 \) puedes analizar ese caso

Si \( p_1>0 \) entonces el máximo ocurre en la frontera, hay que analizar \( f(r_1(0))=0, \ f(r_1(c_1))=p_1c_1 \)

Ese es el camino se ha de proceder con \( r_2, r_3 \)

Saludos

09 Agosto, 2020, 12:40 am
Respuesta #2

malboro

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Muchas gracias.

Saludos

Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.

09 Agosto, 2020, 01:49 am
Respuesta #3

delmar

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Para el primer link

Se pide el máximo de una función f en S:

\( f:D\rightarrow{R} \)

\( (x_1,x_2)\rightarrow{f(x_1,x_2)=x_1^{\alpha_1} \ x_2^{\alpha_2}} \)

\( D=\left\{{(x_1,x_2) \ / \ x_1,x_2\geq{0}}\right\} \), dominio de f

\( S=\left\{{(x_1,x_2) \ / \ p_1x_1+p_2x_2=w, \ x_1,x_2>0}\right\} \)

Donde : \( p_1,p_2>0, \  \alpha_1+\alpha_2=1 \)

S es un segmento abierto, cuyos extremos son \( (0, w/p_2), \ (w/p_1,0) \)

f en su dominio es diferenciable y continuo.

f en S junto a los extremos, se presenta como una función g de una sola variable :

\( g(x_1)=f(x_1,\frac{w}{p_2}-\frac{p_1}{p_2}x_1)=x_1^{\alpha_1} \ (\frac{w}{p_2}-\frac{p_1}{p_2}x_1)^{\alpha_2}, \ 0\leq{x_1}\leq{w/p_1} \)

g es continua y derivable entonces existe máximo y para que ocurra en S la derivada ha de ser cero. De ahí se obtiene cierta condición para las constantes \( \alpha_1, \alpha_2 \) y también el punto donde ocurre y en consecuencia el máximo se puede obtener.

Saludos