Hola
Para el segundo link.
Se busca el máximo de una función f :
\( f:D\rightarrow{R} \)
\( (x_1,x_2)\rightarrow{f(x_1,x_2)=p_1x_1+p_2x_2} \)
\( D=\left\{{(x_1,x_2)\in{R^2} \ / \ c_1\leq{x_1}\leq{0}, \ 0\leq{x_2}\leq{c_2\sqrt[ ]{-x_1}}}\right\} \)
Donde : \( p_1,p_2\geq{0}, \ c_1<0,c_2>0 \) son constantes. Es conveniente dibujar D
f es campo escalar de dos variables, diferenciable y continuo en \( R^2 \) en consecuencia en D (cerrado y acotado) existe un máximo y un mínimo.
Hay dos alternativas :
1) El máximo ocurre en el interior de D 2) El máximo ocurre en la frontera de D
Alternativa 1)
\( D_1f(x_1,x_2)=p_1 \)
\( D_2f(x_1,x_2)=p_2 \)
Para que ocurra en el interior necesariamente \( p_1=p_2=0 \) es decir f es la función nula y el máximo es 0
Alternativa 2)
La frontera es la reunión de tres líneas, un segmento en el eje \( x_1 \), un segmento vertical a la distancia \( -c_1 \) del eje \( x_2 \) y una parte de la curva \( \sqrt[ ]{-x_1} \) en detalle :
\( r_1:R\rightarrow{R^2} \)
\( t\rightarrow{r_1(t)=(t,0)} \) donde \( c_1\leq{t}\leq{0} \)
\( r_2:R\rightarrow{R^2} \)
\( t\rightarrow{r_2(t)=(c_1,t)} \) donde \( 0\leq{t}\leq{c_2\sqrt[ ]{c_1}} \)
\( r_3:R\rightarrow{R^2} \)
\( t\rightarrow{r_3(t)=(t,c_2\sqrt[ ]{-t})} \) donde \( c_1\leq{t}\leq{0} \)
La función en cada una de estas líneas, es una función de una sola variable, continua y derivable, la idea es hallar el máximo en cada trozo y luego por comparación el máximo de f
Solamente para mostrar un poco más, la función en la primera línea es : \( f(r_1(t))=p_1t, \ c_1\leq{t}\leq{0} \) por ser continua ocurre un máximo ¿donde interior o frontera?
Si es en el interior necesariamente \( f \ '(r_1(t))=p_1=0 \) puedes analizar ese caso
Si \( p_1>0 \) entonces el máximo ocurre en la frontera, hay que analizar \( f(r_1(0))=0, \ f(r_1(c_1))=p_1c_1 \)
Ese es el camino se ha de proceder con \( r_2, r_3 \)
Saludos
