Hola
Transcribo la imagen para su mejor entendimiento:
Calcule e identifique el grupo de Galois de \( E|\Bbb{Q} \), siendo \( E \) el cuerpo de escisión de \( x^4+2 \).
De manera análoga al ejercicio 7, se prueba que \( E=\Bbb{Q}(\sqrt[4]{2},i) \). Ahora bien, \( p(x)=x^4+2 \) es irreducible sobre los racionales por el criterio de Eisenstein para \( p=2 \). Se deduce que \( [\Bbb{Q}(\sqrt[4]{2}\colon\Bbb{Q})]=4 \). Como \( i\notin\Bbb{Q}(\sqrt[4]{2})\subseteq\Bbb{R} \), se tiene que \( x^2+1=\operatorname{Irr}(I,\Bbb{Q}(\sqrt[4]{2})) \). Se sigue que \( [E\colon\Bbb{Q}]=2\cdot4=8 \). Sea \( w \) una raíz cuarta primitiva de \( 1 \). Los morfismos del grupo de Galois \( G \) vienen dados por las siguientes asignaciones: \( g_1=\operatorname{id} \), \( g_2(\sqrt[4]{2})=\sqrt[4]{2} \) y \( g_2(i)=-i \), \( g_3(\sqrt[4]{2})=\sqrt[4]{2}i \) y \( g_3(i)=i \), \( g_4(\sqrt[4]{2})=\sqrt[4]{2}i \) y \( g_4(i)=-i \), \( g_5(\sqrt[4]{2})=-\sqrt[4]{2} \) y \( g_5(i)=i \), \( g_6(\sqrt[4]{2})=-\sqrt[4]{2} \) y \( g_6(i)=-i \), finalmente \( g_7(\sqrt[4]{2})=-\sqrt[4]{2}i \) y \( g_7(i)=-i \), \( g_8(\sqrt[4]{2})=-\sqrt[4]{2}i \) y \( g_4(i)=-i \). El orden de \( G \) es \( 8 \) y se puede comprobar, trabajando con los generadores, que \( G\cong\Bbb{D}_8 \).
Saludos
P.D. Lo marcado en rojo creo que debería ser \( g_8(i)=-i \).
