Hola a todos.
Me encontré con esta proposición y quise probarla sin ver y tengo problemas con ciertos detalles.
Sea \( p \) un entero primo. Si \( p(x) = \sum_{i=1}^p{x^{p-i}} \), entonces \( p(x) \) es irreducible en \( \mathbb{Q}[x] \).
La prueba clasica es definir \( g(x)=\frac{p(x)}{x-1} \) y ver que sucede con \( g(x +1) \). ( La mire cuando ya no pude).
Intente hacer (siguiendo un camino natural) \( p(x+1) = \sum_{i=1}^p{(x+1)^{p-i}} \) luego desarrollé cada \( (x+1)^{p-i} \) y note lo siguiete:
\( x^{p-1} \) aparece solo una vez.
\( x^{p-2} \) aparece dos veces, con coeficientes: \( p-1 \choose 1 \) y \( p-2 \choose 0 \).
\( x^{p-3} \) aparece tres veces, con coeficientes: \( p-1 \choose 2 \) y \( p-2 \choose 1 \) y \( p-3 \choose 0 \).
\( x^{p-4} \) aparece cuatro veces, con coeficientes: \( p-1 \choose 3 \) y \( p-2 \choose 2 \) y \( p-3 \choose 1 \) y \( p-4 \choose 0 \).
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\( x \) aparece \( p-1 \) veces. \( p-1 \choose p-2 \) y \( p-2 \choose p-3 \) y \( p-3 \choose p-4 \)... ¿?
\( 1 \) aparece p veces.
La dificultad esta en lo siguiente:
1. No pude determinar el termino final de \( x \) por eso aparecen ¿?.
2. Deseo hallar una formula general que sume los coeficientes de cada \( (x+1)^{p-i} \) (algo como\( \sum_{i=1}^p{p-k \choose p-1-k} \), (esto es solo un decir) ) para poder notar que cada coeficiente de \( (x+1)^{p-i} \) es divisible por \( p \) y usar el criterio de Eisenten.
Gracias.