Autor Tema: Grupo de Galois

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08 Agosto, 2020, 11:18 am
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moraat

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¿Como puedo comprobar que \( G\sim{D_8} \)? Gracias. Adjunto foto.

08 Agosto, 2020, 11:57 am
Respuesta #1

manooooh

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Hola

Transcribo la imagen para su mejor entendimiento:

Calcule e identifique el grupo de Galois de \( E|\Bbb{Q} \), siendo \( E \) el cuerpo de escisión de \( x^4+2 \).

De manera análoga al ejercicio 7, se prueba que \( E=\Bbb{Q}(\sqrt[4]{2},i) \). Ahora bien, \( p(x)=x^4+2 \) es irreducible sobre los racionales por el criterio de Eisenstein para \( p=2 \). Se deduce que \( [\Bbb{Q}(\sqrt[4]{2}\colon\Bbb{Q})]=4 \). Como \( i\notin\Bbb{Q}(\sqrt[4]{2})\subseteq\Bbb{R} \), se tiene que \( x^2+1=\operatorname{Irr}(I,\Bbb{Q}(\sqrt[4]{2})) \). Se sigue que \( [E\colon\Bbb{Q}]=2\cdot4=8 \). Sea \( w \) una raíz cuarta primitiva de \( 1 \). Los morfismos del grupo de Galois \( G \) vienen dados por las siguientes asignaciones: \( g_1=\operatorname{id} \), \( g_2(\sqrt[4]{2})=\sqrt[4]{2} \) y \( g_2(i)=-i \), \( g_3(\sqrt[4]{2})=\sqrt[4]{2}i \) y \( g_3(i)=i \), \( g_4(\sqrt[4]{2})=\sqrt[4]{2}i \) y \( g_4(i)=-i \), \( g_5(\sqrt[4]{2})=-\sqrt[4]{2} \) y \( g_5(i)=i \), \( g_6(\sqrt[4]{2})=-\sqrt[4]{2} \) y \( g_6(i)=-i \), finalmente \( g_7(\sqrt[4]{2})=-\sqrt[4]{2}i \) y \( g_7(i)=-i \), \( g_8(\sqrt[4]{2})=-\sqrt[4]{2}i \) y \( g_4(i)=-i \). El orden de \( G \) es \( 8 \) y se puede comprobar, trabajando con los generadores, que \( G\cong\Bbb{D}_8 \).

Saludos

P.D. Lo marcado en rojo creo que debería ser \( g_8(i)=-i \).

08 Agosto, 2020, 12:13 pm
Respuesta #2

moraat

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Efectivamente , es \( g_8(i)=-i \). Pero,¿ por qué \( G\sim{D_8}  \)  y no, por ejemplo, \( G\sim{Z_2 \times{Z_4}} \)?

08 Agosto, 2020, 12:18 pm
Respuesta #3

manooooh

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Hola

(...) Pero,¿ porque por qué \( G\sim{D_8}  \)  y no, por ejemplo, \( G\sim{Z_2 \times{Z_4}} \)?

Excede a mi capacidad reducida. Espera a alguien más.

Saludos

08 Agosto, 2020, 12:25 pm
Respuesta #4

geómetracat

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Hay una errata más: \( g_7 \) y \( g_8 \) están definidos igual.

Sobre el problema, es cuestión de jugar un poco con los elementos del grupo de Galois. Calcula los productos \( g_ig_j \) y verás que te sale el producto de \( D_8 \). Mejor aún, puedes dar un isomorfismo explícito.

Por ejemplo, para ver que el grupo no es \( Z_2 \times Z_4 \) solamente tienes que observar, por ejemplo, que \( g_2g_3 \neq g_3g_2 \), de forma que el grupo no es abeliano.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)