Autor Tema: Inclusión de las sigma álgebras en las álgebras

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04 Agosto, 2020, 07:34 pm
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YeffGC

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Hola he finalizado un curso de teoria de probabilidad y me quedo una duda inmensa sobre si la \(   \sigma - \)algebra esta incluida en la algebra  ya que un libro encontre el siguiente diagrama que adjunto podria explicarme bien esa relación.



04 Agosto, 2020, 08:20 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola he finalizado un curso de teoria de probabilidad y me quedo una duda inmensa sobre si las \(   \sigma - \)algebra esta incluida en la algebra  ya que un libro encontre el siguiente diagrama que adjunto podria explicarme bien esa relación.



Pues cuanto más grande es el conjunto, menos condiciones se exige para que una familia pertenezca a ese tipo. Dada una familia de conjuntos:

- Es semiálgebra si contiene al total, es cerrada para intersecciones finitas de conjuntos de la familia y el complementario de un conjunto puede escribirse como unión finita y disjunta de conjuntos de la familia.
- Es álgebra si contiene al total, y es cerrada para uniones y intersecciones finitas y complementario.
- Es \( \sigma \)-álgebra si contiene al total, y es cerrada para uniones e intersecciones numerables y complementario.

Es fácil ver que:

- Toda \( \sigma \)-álgebra es álgebra; pero no al revés. Hay álgebras que no son \( \sigma \)-álgebras.
- Toda álgebra es una semiálgebra; pero no al revés. Hay semiálgebras que no son álgebras.

Como conclusión el conjunto de \( \sigma \)-álgebra está contenido en el de álgebras y este a su vez en del de semiálgebras y las inclusiones son estrictas.

Como ejemplo de esto, en los naturales:

- La familia formada por \( \{\emptyset,\{1\},\{2\},\{n\in \Bbb N|n>2\},\Bbb N\} \) es una semiálgebra que no es un álgebra.
- La familia de conjuntos finitos o con complementario finito es un álgebra que no es un \( \sigma \)-álgebra.
- La familia de todos los subonjuntos es una \( \sigma \)-álgebra.

Saludos.

04 Agosto, 2020, 08:30 pm
Respuesta #2

YeffGC

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Es fácil ver que:

- Toda \( \sigma \)-álgebra es álgebra; pero no al revés. Hay álgebras que no son \( \sigma \)-álgebras.
- Toda álgebra es una semiálgebra; pero no al revés. Hay semiálgebras que no son álgebras.

Como conclusión el conjunto de \( \sigma \)-álgebra está contenido en el de álgebras y este a su vez en del de semiálgebras y las inclusiones son estrictas.
Saludos.

existe demostracion formal o por contraejemplo

04 Agosto, 2020, 08:35 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

existe demostracion formal o por contraejemplo

En realidad lo ideal sería que tu mismo te respondieses a esa pregunta. En caso contrario es que no estás entendiendo bien el asunto. Fíjate que eso no tiene nada que ver con saber o no hacer las demostraciones.

Spoiler
Las inclusiones hay que demostrarlas formalmente:

A- Que toda álgebra es una semiálgebra.
B- Que toda \( \sigma \)-álgebra es una álgebra.

¡Pero es bastante sencillo e inmediato!. ¡Inténtalo!.

Que las inclusiones son estrictas (no son igualdades) se muestra mediante contraejemplos. Ya te he puesto algunos.
[cerrar]

Saludos.