[conchivgr]

Hola. Me piden calcular la siguiente integral usando la Fórmula Integral de Cauchy, y me surgen dos dudas al final:

Calcular $$\int_{C}\frac{e^z}{z-2}dz$$. Dependiendo de la curva $$C$$, por la Fórmula Integral de Cauchy, tenemos que, si $$R$$ es la región encerrada por la curva:

$$\int_{C}\frac{e^z}{z-2}dz=2ie^2\pi$$ si $$2\in{R}$$
$$\int_{C}\frac{e^z}{z-2}dz=0$$ si $$2\not\in{R}$$

Pero, qué ocurre si $$2\in{C}$$?. Qué ocurre si el punto está en la propia curva?.

Por otro lado, se incide en que la Fórmula Integral de Cauchy permite saber los valores de la función dentro de la región $$R$$, si se conocen los valores de la función en la propia curva.

A qué se refiere con esto?. A que en el integrado el numerador $$f(z)$$ se evalúa en puntos de la propia curva?.

Besos. 

[geómetracat]

Pero, qué ocurre si $$2\in{C}$$?. Qué ocurre si el punto está en la propia curva?

Que la integral no está definida. Necesitas como mínimo que la función exista y sea integrable a lo largo de la curva.

Por otro lado, se incide en que la Fórmula Integral de Cauchy permite saber los valores de la función dentro de la región $$R$$, si se conocen los valores de la función en la propia curva.

A qué se refiere con esto?. A que en el integrado el numerador $$f(z)$$ se evalúa en puntos de la propia curva?.

Sí. El teorema integral de Cauchy te da los valores \( f(z) \) en un punto \( z \) en el interior de una curva cerrada usando únicamente los valores de \( f \) a lo largo de la curva, ya que en la integral de línea lo único que aparecen son los valores de \( f \) en la curva, y no en el interior.

Puedes pensar esto como un resultado de rigidez de las funciones holomorfas: si sabes que una función es holomorfa y sabes cómo es en una curva cerrada ya conoces cómo es en todos los puntos del interior de la curva. Nada que ver con funciones continuas o diferenciables, en las que puedes cambiar los valores localmente (en un entorno tan pequeño como quieras de un punto) sin destruir la continuidad o la diferenciabilidad.

[conchivgr]

Muchas gracias,  entendido.
Besos