Autor Tema: Cubo de un número complejo igual al cuadrado de su conjugado.

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04 Agosto, 2020, 02:49 pm
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carsand

  • $$\Large \color{red}\pi$$
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Hola,
tengo el siguiente problema que en principio es sencillo, pero puede que me haya liado con los cálculos,
\( z^3=\bar{z}^2 \)
yo planteé lo siguiente,
\( z^3=\cos 3 \theta + i \sin 3\theta \)
por la fórmula de De Moivre y de igual manera,
\( \bar{z}^2=\cos 2 \theta - i \sin 2 \theta \)
entonces la primera ecuación queda,
\( \cos 3 \theta - \cos 2 \theta + i(\sin(3 \theta)+ sin (3 \ theta)) \)
de ahí despejo que,
\(
\left\{\begin{matrix}
\cos 3 \theta = cos 2 \theta  \\
\sin 3 \theta = -sin 2 \theta
\end{matrix}\right.
 \)
y llego a una incongruencia pues,
\(
\left\{\begin{matrix}
\!\!\!\!\! \theta=2k\pi  \qquad k \in \mathbb{Z}   \\
\theta=(2k'+1)\pi \: k' \in \mathbb{Z}
\end{matrix}\right.
 \)
me podría ayudar alguien para decirme donde esta mi error.

04 Agosto, 2020, 04:33 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Hola,
tengo el siguiente problema que en principio es sencillo, pero puede que me haya liado con los cálculos,
\( z^3=\bar{z}^2 \)
yo planteé lo siguiente,
\( z^3=\cos 3 \theta + i \sin 3\theta \)
por la fórmula de De Moivre y de igual manera,
\( \bar{z}^2=\cos 2 \theta - i \sin 2 \theta \)
entonces la primera ecuación queda,
\( \cos 3 \theta - \cos 2 \theta + i(\sin(3 \theta)+ sin (3 \ theta)) \)
de ahí despejo que,
\(
\left\{\begin{matrix}
\cos 3 \theta = cos 2 \theta  \\
\sin 3 \theta = -sin 2 \theta
\end{matrix}\right.
 \)
y llego a una incongruencia pues,
\(
\left\{\begin{matrix}
\!\!\!\!\! \theta=2k\pi  \qquad k \in \mathbb{Z}   \\
\theta=(2k'+1)\pi \: k' \in \mathbb{Z}
\end{matrix}\right.
 \)
me podría ayudar alguien para decirme donde esta mi error.

Que dos ángulos tengan el mismo coseno, no significa necesariamente que difieran en un múltiplo de \( 2k\pi. \) También que sean opuestos. Es decir:

\( cos(3\theta)=cos(2\theta) \)

significa que:

\( 3\theta=2\theta+2k\pi \) para \( k\in \Bbb Z \), ó
\( 3\theta=-2\theta+2k\pi \) para \( k\in \Bbb Z \).

Algo parecido ocurre para el seno: senos iguales también puede significar que los ángulos son suplementarios (suman \( \pi \)).

Con esto replantea el final de tu desarollo.

Saludos.

P..D. Otra forma de verlo es tener en cuenta que:

\( z^3=\cos 3 \theta + i \sin 3\theta \)
\( \bar{z}^2=\cos 2 \theta - i \sin 2 \theta=\cos (-2\theta)+\sin(-2\theta) \)

Y ahora si, que seno y coseno coincidan simultáneamente para dos ángulos equivale a que su diferencia es mútliplo entero de \( 2\pi. \) Es decir en este caso:

\( 3\theta-(-2\theta)=2k\pi \) para \( k\in \Bbb Z \)

P.D.D. Previamente te falta indicar que de la ecuación se deduce que \( |z|=1 \) ó \( |z|=0 \).

P.D.D.D. Una tercera opción es, bajo el supuesto de que \( |z|=1 \) mutliplicar ambos lados de la igualdad por \( z^2 \) y queda:

\( z^5=\bar z^2z^2=1 \)

Las soluciones son las raíces quintas de la unidad.