Autor Tema: Riemann mapping theorem

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04 Agosto, 2020, 03:45 pm
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conchivgr

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Hola.

Estudiando el Riemann Mapping Theorem, tengo que probar que si $$a$$ y $$b$$ son dos numeros complejos, con $$\left |{a}\right |<1$$ y $$\left |{b}\right |<1$$, entonces:

$$\left |{\frac{a-b}{1-\overline{a}b}}\right |<1$$

Si hago $$a=re^{i\theta_1}$$, $$b=Re^{i\theta_2}$$ y $$\overline{a}=re^{-i\theta_1}$$ tenemos que $$\left |{r}\right |<1$$ y $$\left |{R}\right |<1$$ , entonces:

$$\left |{\frac{a-b}{1-\overline{a}b}}\right |=\left |{\frac{re^{i\theta_1}-Re^{i\theta_2}}{1-(re^{-i\theta_1})(Re^{i\theta_2})}}\right |=\left |{\frac{re^{i\theta_1}-Re^{i\theta_2}}{1-(rRe^{i(\theta_2-\theta_1)})}}\right |$$

Puedo seguir por ese camino o hay otro mas sencillo?.

Besos.  :-*

04 Agosto, 2020, 04:40 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

Estudiando el Riemann Mapping Theorem, tengo que probar que si $$a$$ y $$b$$ son dos numeros complejos, con $$\left |{a}\right |<1$$ y $$\left |{b}\right |<1$$, entonces:

$$\left |{\frac{a-b}{1-\overline{a}b}}\right |<1$$

Si hago $$a=re^{i\theta_1}$$, $$b=Re^{i\theta_2}$$ y $$\overline{a}=re^{-i\theta_1}$$ tenemos que $$\left |{r}\right |<1$$ y $$\left |{R}\right |<1$$ , entonces:

$$\left |{\frac{a-b}{1-\overline{a}b}}\right |=\left |{\frac{re^{i\theta_1}-Re^{i\theta_2}}{1-(re^{-i\theta_1})(Re^{i\theta_2})}}\right |=\left |{\frac{re^{i\theta_1}-Re^{i\theta_2}}{1-(rRe^{i(\theta_2-\theta_1)})}}\right |$$

Puedo seguir por ese camino o hay otro mas sencillo?.

La desigualdad inicial equivale a:

\( |a-b|<|1-\bar a b| \)
\( |a-b|^2<|1-\bar a b|^2 \)
\( (a-b)(\bar a-\bar b)<(1-\bar a b)(1-a\bar b) \)
\( a\bar a-a\bar b-\bar a b+\bar a\bar b<1-\bar a b-a\bar b+a\bar a b\bar b \)
\( 0<1-a\bar a-b\bar b+a\bar a b\bar b \)
\( 0<(1-a\bar a)(1-b\bar b) \)
\( 0<(1-|a|^2)(1-|b|^2) \)

Saludos.

04 Agosto, 2020, 04:47 pm
Respuesta #2

conchivgr

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Hola, mas sencillo, muchas gracias, entendido.

Besos.