Pero viste que para \( n=1 \) no se cumple la recurrencia.
Eso ya permite, (siempre considerando \( n=1,2,3\ldots \)), afirmar que en general no es cierto que \( \displaystyle I_n=\int\tg^n(x)=\frac{1}{n-1}\cdot{\tg^{n-1}(x)}-I_{n-2} \) puesto que \( I_1=\frac{1}{0}\cdot{\tg^{0}(x)}-I_{-1}\int\tg(x) \) no está definido.
¿Correcto?
Tienes la sucesión de funciones \( \{I_n\}_{n=1}^{+\infty} \) definida por \( \displaystyle I_n = \int \tan^n(x) \ dx \) donde \( n \in \mathbb{N} \) en el paso:
\( \displaystyle I_n = \int \tan^n(x) \ dx = \int \tan^{n-2} \cdot \tan^2(x) \ dx = \int \tan^{n-2}(x) \cdot (sec^2(x)-1) \ dx = \dfrac{\tan^{n-1}(x)}{n-1} - I_{n-2} \) tienes que \( n-2 \in \mathbb{N} \) entonces lo más pequeño que puede ser es \( n-2 = 1 \) entonces \( n = 3 \) por la propia construcción de la recurrencia te sale que funciona a partir de \( n=3 \) que para \( n=1,2 \) se cumpla o no se cumpla me da igual lo que si tienes que hacer es calcular \( I_1 \) y \( I_2 \), para que esté bien definida la recurrencia.
Si. Al tratar de verificar la recurrencia para \( n=2 \), \( \displaystyle I_2=\int\tg^2(x)=\frac{1}{1}\cdot{\tg(x)}-I_{0} \) se puede caer en la tentación de ver que \( \displaystyle I_2=\int\tg^2(x)\cdot{dx}=\frac{1}{1}\cdot{\tg(x)}-I_{0}=\tg(x)-\int\tg^0(x)\cdot{dx}=\tg(x)-\int 1\cdot{dx}=\tg(x)-x-C \) y que por lo tanto \( [\tg(x)-x-C\big]'=1+\tg^2(x)-1=\tg^2(x) \) y la recurrencia es cierta para \( n=2 \). Sin embargo la interpretación correcta debería ser que \( I_0 \) no está definida, (no se está considerando el 0 como número natural), y como aparece en \( I_2 \) esta última tampoco lo está.
¿Correcto?
Para \( I_3 \) ocurre otro tanto de lo mismo. Es obvio que el razonamiento se puede extender de manera recurrente a \( I_4,I_5,I_6\ldots \) y concluir que la recurrencia no se verifica para ningún natural.
¿Correcto?
Si las respuestas a las preguntas son si, el ejercicio es un poco absurdo, así que hay que interpretarlo de otra manera.
\( \displaystyle I_1=\int\tg(x)\cdot{dx}=-\log\big(\cos(x)\big)+C \)
\( \displaystyle I_2=\int\tg^2(x)\cdot{dx}=\int\big(1+\tg^2(x)-1\big)\cdot{dx}=\tg(x)-x-C \)
Prueba que \( \displaystyle I_n=\int\tg^n(x)=\frac{1}{n-1}\cdot{\tg^{n-1}(x)}-I_{n-2} \) \( n\geq{3} \)
Para hacerlo por inducción se debe tener una base. Se prueba para \( n=3 \) y \( n=4 \)
\( \displaystyle I_3=\int\tg^3(x)\cdot{dx}=\frac{1}{2}\tg^2(x)-I_1=\frac{1}{2}\tg^2(x)+\log\big(\cos(x)\big)-C \) para que esto sea cierto se debe verificar que \( \displaystyle\Big[\frac{1}{2}\cdot{}\tg^2(x)+\log\big(\cos(x)\big)-C\Big]'=\tg^3(x) \). Operando
\( \displaystyle\Big[\frac{1}{2}\cdot{}\tg^2(x)+\log\big(\cos(x)\big)-C\Big]'=\frac{1}{\cancel{2}}\cdot{\cancel{2}\cdot{\tg(x)}\cdot{(1+tg^2(x))}}-\tg(x)=\cancel{\tg(x)}+\tg^3(x)-\cancel{\tg(x)}=\tg^3(x) \).
Esto es, para \( n=3 \) sí se verifica.
Para \( n=4 \), \( \displaystyle I_4=\int\tg^4(x)\cdot{dx}=\frac{1}{3}\cdot{}\tg^3(x)-I_2=\frac{1}{3}\cdot{}\tg^3(x)-\tg(x)+x+C \) que será cierto si \( \Big[\frac{1}{3}\cdot{}\tg^3(x)-\tg(x)+x+C\Big]'=\tg^4(x) \). Operando
\( \Big[\frac{1}{3}\cdot{}\tg^3(x)-\tg(x)+x+C\Big]'=\frac{1}{\cancel{3}}\cdot{\cancel{3}\cdot{\tg^2(x)}\cdot{(1+\tg^2(x))}}-\cancel{1}-\tg^2(x)+\cancel{1}=\cancel{\tg^2(x)}+\tg^4(x)-\cancel{\tg^2(x)}=\tg^4(x) \)
Esto es, para \( n=4 \) también se verifica.
El paso de inducción está probado en #11. Se puede concluir que la fórmula para la recurrencia se verifica para todo \( n\geq{3} \).
¿Correcto ahora?
Saludos.