Autor Tema: Calcula la integral \(\displaystyle\int\sen^5\,x\cdot{dx}\)

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02 Agosto, 2020, 08:33 pm
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Buscón

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Calcula la integral    \( \displaystyle\int\sen^5\,x\cdot{dx} \)


02 Agosto, 2020, 08:37 pm
Respuesta #1

Buscón

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Aquí lo más práctico parece ser hacer

\( \displaystyle\int\sen^5\,x\cdot{dx}=\int\sen^4\,x\cdot{\sen\,x}\cdot{dx} \)



y usar el resultado de este hilo    https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=113908.msg450438#msg450438


\( \displaystyle\int\sen ^4\,x\cdot{}dx=\frac{1}{4}\cdot{}\left(-\cos\,x\cdot{}\sen ^3\,x+3\cdot{}\int\sen ^2\,x\cdot{}dx\right) \)

02 Agosto, 2020, 10:23 pm
Respuesta #2

ingmarov

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Hola        Signos corregidos. Y más, gracias a Juan Pablo

Otra forma, usando \[ u=cos(x) \] por lo que \[ du=-sen(x)dx \]

\[ \int sen^5(x)dx=\int (sen^2(x))^2 sen(x)dx=\int (1-cos^2(x))^2 dx=\int (1-2cos^2(x)+cos^4(x))sen(x)dx=-\int(1-2u^2+u^4)du=u-\dfrac{2u^3}{3}+\dfrac{u^5}{5}+C \]

\[ \color{red}\therefore \int sen^5(x)dx=-cos(x)+\dfrac{2cos^3(x)}{3}-\dfrac{cos^5(x)}{5}+C  \]


Me parece fácil así.

Saludos
No te confíes, revisa lo que escribo. Yo también me equivoco.
Odio el autocorrector de Android...

03 Agosto, 2020, 12:23 am
Respuesta #3

Buscón

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Hola        Signos corregidos

Otra forma, usando \[ u=cos(x) \] por lo que \[ du=-sen(x)dx \]

\[ \int sen^5(x)dx=\int (sen^2(x))^2 sen(x)dx=\int (1-cos^2(x))^2 dx=\int (1-2cos^2(x)+cos^4(x))sen(x)dx=-\int(1-2u+u^2)du=u-u^2+\dfrac{u^3}{3}+C \]

\[ \therefore \int sen^5(x)dx={\color{red}-}cos(x){\color{red}+}cos^2(x){\color{red}-}\dfrac{cos^3(x)}{3}+C  \]


Me parece fácil así.

Saludos

Gracias. No consigo sacarla por el método que propongo. Saludos.

03 Agosto, 2020, 09:15 am
Respuesta #4

Juan Pablo Sancho

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Debería ser:

Hola        Signos corregidos

Otra forma, usando \[ u=cos(x) \] por lo que \[ du=-sen(x)dx \]

\[ \int sen^5(x)dx=\int (sen^2(x))^2 sen(x)dx=\int (1-cos^2(x))^2 dx=\int (1-2cos^2(x)+cos^4(x))sen(x)dx=\color{red}-\int(1-2u^2+u^4)du=-u+2\cdot \dfrac{u^3}{3} -\dfrac{u^5}{5} \color{black} +C \]

\[ \therefore \int sen^5(x)dx= \color{red}- cos(x) +  \dfrac{2}{3} \cdot cos^3(x) - \dfrac{cos^5(x)}{5}+C  \]


Me parece fácil así.

Saludos

03 Agosto, 2020, 10:58 am
Respuesta #5

Buscón

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Debería ser:

Hola        Signos corregidos

Otra forma, usando \[ u=cos(x) \] por lo que \[ du=-sen(x)dx \]

\[ \int sen^5(x)dx=\int (sen^2(x))^2 sen(x)dx=\int (1-cos^2(x))^2 \color{red}\cdot{\sen\,x}\color{black}\cdot{}dx=\int (1-2cos^2(x)+cos^4(x))sen(x)dx=\color{red}-\int(1-2u^2+u^4)du=-u+2\cdot \dfrac{u^3}{3} -\dfrac{u^5}{5} \color{black} +C \]

\[ \therefore \int sen^5(x)dx= \color{red}- cos(x) +  \dfrac{2}{3} \cdot cos^3(x) - \dfrac{cos^5(x)}{5}+C  \]


Me parece fácil así.

Saludos

Gracias. Creo que falta un seno y tengo que hacerla usando la técnica por partes, se me olvidó ponerlo en el enunciado. Saludos.

03 Agosto, 2020, 01:37 pm
Respuesta #6

Buscón

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Creo que al final salió con el método que propuse, debería ser

\begin{align*}\displaystyle\underbrace{\int\sen^4\,x\cdot{dx}}_{\textrm{I}}&=\int\sen^3\,x\cdot{\sen\,x}\cdot{dx}=\begin{bmatrix}u=\sen^3\,x&du=3\cdot{\sen^2\,x\cdot{\cos\,x}}\cdot{dx}\\\\dv=\sen\,x\cdot{dx}&v=-\cos\,x\end{bmatrix}=\\\\ &=-\cos\,x\cdot{\sen^3\,x}-\int-\cos\,x\cdot{3\cdot{\sen^2\,x}}\cdot{\cos\,x}\cdot{dx}=-\cos\,x\cdot{\sen^3\,x}+3\cdot{}\int\cos^2\,x\cdot{\sen^2\,x}\cdot{dx}=\\\\
&=-\cos\,x\cdot{\sen^3\,x}+3\cdot{}\int(1-\sen^2\,x)\cdot{\sen^2\,x}\cdot{dx}=-\cos\,x\cdot{\sen^3\,x}+3\cdot{}\int\left(\sen^2\,x-\sen^4\,x\right)\cdot{dx}=\\\\
&=\underbrace{-\cos\,x\cdot{\sen^3\,x}+3\cdot{}\int\sen^2\,x\cdot{dx}-3\cdot{}\int\sen^4\,x\cdot{dx}}_{\textrm{II}}\end{align*}

De I y II


\( 4\cdot{}\displaystyle\int\sen^4\,x\cdot{dx}=-\cos\,x\cdot{\sen^3\,x}+3\cdot{}\int\sen^2\,x\cdot{dx} \)

entonces

\( \begin{align*}\displaystyle\int\sen^4\,x\cdot{dx}&=\frac{-\cos\,x\cdot{\sen^3\,x}}{4}+\frac{3}{4}\cdot{}\int\sen^2\,x\cdot{dx}=\int\sen^4\,x\cdot{dx}=\frac{-\cos\,x\cdot{\sen^3\,x}}{4}+\frac{3}{4}\cdot{}\int\frac{1-\cos(2x)}{2}\,x\cdot{dx}=\\\\
&=\frac{-\cos\,x\cdot{\sen^3\,x}}{4}+\frac{3}{8}\cdot{}\int 1\cdot{dx}-\frac{3}{8}\cdot{\int}\cos(2x)\cdot{dx}=\frac{-\cos\,x\cdot{\sen^3\,x}}{4}+\frac{3x}{8}-\frac{3}{16}\cdot{\int}2\cdot{}\cos(2x)\cdot{dx}=\\\\
&=\frac{-\cos\,x\cdot{\sen^3\,x}}{4}+\frac{3x}{8}-\frac{3\sen(2x)}{16}+C_1\end{align*} \)




Ahora es posible usar    \( \displaystyle u=\frac{-\cos\,x\cdot{\sen^3\,x}}{4}+\frac{3x}{8}-\frac{3\sen(2x)}{16} \)    y    \( du=\sen^4\,x\cdot{dx} \)    para la integral pedida.

\( \begin{align*}\displaystyle\int\sen^5\,x\cdot{dx}=\int\sen^4\,x\cdot{\sen\,x}\cdot{dx}&=\begin{bmatrix}-&-\\\\dv=\sen\,x\cdot{dx}&v=-\cos\,x\end{bmatrix}=\frac{\cos^2\,x\cdot{\sen^3\,x}}{4}-\frac{3x\cos\,x}{8}+\frac{3\sen(2x)\cos\,x}{16}-\int-\cos\,x\cdot{\sen^4\,x}\cdot{dx}\\\\
&=\frac{\cos^2\,x\cdot{\sen^3\,x}}{4}-\frac{3x\cos\,x}{8}+\frac{3\sen(2x)\cos\,x}{16}+\frac{1}{5}\cdot{}\int 5\cdot{\sen^4\,x}\cdot{\cos\,x}\cdot{dx}=\\\\
&=\frac{\cos^2\,x\cdot{\sen^3\,x}}{4}-\frac{3x\cos\,x}{8}+\frac{3\sen(2x)\cos\,x}{16}+\frac{ \sen^5\,x}{5}+C_2\end{align*} \)

Sin embargo el resultado no es correcto.

Tomando    \( C_1=1 \)    queda    \( \displaystyle u=\frac{-\cos\,x\cdot{\sen^3\,x}}{4}+\frac{3x}{8}-\frac{3\sen(2x)}{16}+1 \)    y aparece un factor más en la integral, resultando


\( \displaystyle\int\sen^5\,x\cdot{dx}=\frac{\cos^2\,x\cdot{\sen^3\,x}}{4}-\frac{3x\cos\,x}{8}+\frac{3\sen(2x)\cos\,x}{16}\underbrace{-\cos\,x}+\frac{ \sen^5\,x}{5}+C_2 \)

que sigue sin ser correcta.

Alguien tiene la bondad de explicármelo. Gracias.

03 Agosto, 2020, 03:34 pm
Respuesta #7

Juan Pablo Sancho

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Por partes:
\( I = \displaystyle \int \sen^5(x) \ dx = \int \sen(x) \cdot \sen^4(x) \ dx = - \cos(x) \cdot \sen^4(x) + \int cos(x) \cdot 4 \cdot \sen^3(x) \cdot cos(x) \ dx =  \)

\(  =\displaystyle - \cos(x) \cdot \sen^4(x) + \int cos^2(x) \cdot 4 \cdot \sen^3(x)  \ dx = - \cos(x) \cdot \sen^4(x) + \int (1-\sen^2(x)) \cdot 4 \cdot \sen^3(x)  \ dx =  \)

\(  =\displaystyle - \cos(x) \cdot \sen^4(x) + 4 \cdot \int \sen^3(x) \ dx - 4 \cdot \int \sen^5(x)  \ dx   \)

\( I =\displaystyle - \cos(x) \cdot \sen^4(x) + 4 \cdot \int \sen^3(x) \ dx - 4 \cdot I   \)



 

03 Agosto, 2020, 03:44 pm
Respuesta #8

Buscón

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Por partes:
\( I = \displaystyle \int \sen^5(x) \ dx = \int \sen(x) \cdot \sen^4(x) \ dx = - \cos(x) \cdot \sen^4(x) + \int cos(x) \cdot 4 \cdot \sen^3(x) \cdot cos(x) \ dx =  \)

\(  =\displaystyle - \cos(x) \cdot \sen^4(x) + \int cos^2(x) \cdot 4 \cdot \sen^3(x)  \ dx = - \cos(x) \cdot \sen^4(x) + \int (1-\sen^2(x)) \cdot 4 \cdot \sen^3(x)  \ dx =  \)

\(  =\displaystyle - \cos(x) \cdot \sen^4(x) + 4 \cdot \int \sen^3(x) \ dx - 4 \cdot \int \sen^5(x)  \ dx   \)

\( I =\displaystyle - \cos(x) \cdot \sen^4(x) + 4 \cdot \int \sen^3(x) \ dx - 4 \cdot I   \)

Gracias, luego la estudio, aunque queda un    \( \sen^3 \).     Me interesa saber que error cometo.

03 Agosto, 2020, 04:08 pm
Respuesta #9

Buscón

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Vale, ya lo he visto. Estoy calculando    \( \displaystyle\int u\cdot{dv}=\int\left(\frac{-\cos\,x\cdot{\sen^3\,x}}{4}+\frac{3x}{8}-\frac{3\sen(2x)}{16}\right)\cdot{\sen\,x}\cdot{dx} \)    pero no es la que piden.

03 Agosto, 2020, 04:45 pm
Respuesta #10

Buscón

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Por partes:
\( I = \displaystyle \int \sen^5(x) \ dx = \int \sen(x) \cdot \sen^4(x) \ dx = - \cos(x) \cdot \sen^4(x) + \int cos(x) \cdot 4 \cdot \sen^3(x) \cdot cos(x) \ dx =  \)

\(  =\displaystyle - \cos(x) \cdot \sen^4(x) + \int cos^2(x) \cdot 4 \cdot \sen^3(x)  \ dx = - \cos(x) \cdot \sen^4(x) + \int (1-\sen^2(x)) \cdot 4 \cdot \sen^3(x)  \ dx =  \)

\(  =\displaystyle - \cos(x) \cdot \sen^4(x) + 4 \cdot \int \sen^3(x) \ dx - 4 \cdot \int \sen^5(x)  \ dx   \)

\( I =\displaystyle - \cos(x) \cdot \sen^4(x) + 4 \cdot \int \sen^3(x) \ dx - 4 \cdot I   \)

La integral de    \( \sen^3\,x \)    reiterando el procedimiento.

\( \begin{align*}\displaystyle\int\sen^3\,x\cdot{dx}&=\int\sen^2\,x\cdot{\sen\,x}\cdot{dx}=\int(1-\cos^2\,x)\cdot{\sen\,x}\cdot{dx}=\int(\sen\,x-\sen\,x\cdot{}\cos^2\,x)\cdot{dx}=\\\\
&=\int\sen\,x\cdot{dx}-\int\sen\,x\cdot{}\cos^2\,x\cdot{dx}=-\cos\,x+\frac{1}{3}\int 3\cdot{}\cos^2\,x\cdot{\sen\,x}\cdot{dx}=\\\\
&=\frac{\cos^3\,x}{3}-\cos\,x+C\end{align*} \)

Así que debería quedar

\( \displaystyle\int\sen^5\,x\cdot{dx}=\frac{4}{5}\cdot{}\left(\frac{\cos^3\,x}{3}-\cos\,x+\right)-\frac{\cos\,x\cdot\sen^4\,x}{5}+C=\frac{4\cos^3\,x}{15}-\frac{4\cos\,x}{5}-\frac{\cos\,x\cdot\sen^4\,x}{5}+C \)

Saludos.