Autor Tema: Consultas sobre prueba de que \(\operatorname{lcm}^2(a,b)-\gcd^2(a,b)=48\)

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02 Agosto, 2020, 12:26 pm
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manooooh

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\( \def\lcm{\operatorname{lcm}} \)Hola!

En este excelente video: Solving a lcm-gcd question. se demuestra que los únicos pares de números naturales \( a,b \) que satisfacen

\( \lcm^2(a,b)-\gcd^2(a,b)=48 \)

son \( (1,7),(7,1),(4,8),(8,4) \).

Sin embargo la prueba me es un poco difícil de llevarla adelante.

Al principio menciona 2 hechos que son bien conocidos. Hasta ahí genial.

Luego establece que \( a=dx \), \( b=dy \), donde \( d=\gcd(a,b) \). De ahí dice que \( x \) e \( y \) son coprimos. Dudas:

1) ¿Por qué puede llamar a las variables así? ¿No se estaría perdiendo generalidad?

2) No lo menciona pero \( x \) e \( y \) vendrían a ser números enteros, ¿verdad?

3) ¿Cómo deduce que en base a eso, \( \gcd(x,y)=1 \) (que son coprimos)?



Por último, cuando está escribiendo \( x^2y^2-1=48 \), hace diferencia de cuadrados, \( (xy-1)(xy+1)=48 \). Hasta ahí genial.

Pero luego dice "Pero lo que hay que recalcar aquí es que los factores deben diferir en una cantidad de \( 2 \) unidades. ¿Se podrá escribir al \( 48 \) como un producto de dos números cuya diferencia sea \( 2 \)?", y la respuesta es que sí pues \( 48=6\cdot8 \).

Dudas:

1) ¿Qué propiedades está usando para ver que su diferencia debe dar \( 2 \)? ¿En dónde lo dice?

2) ¿Por qué el \( 48 \) busca escribirlo como un producto y no con otras operaciones? Por ejemplo la suma o resta.

Ya sé que podría haber terminado antes notando que \( x^2y^2=(xy)^2=49 \), y de ahí deduce \( x=y=1,7 \). Pero me gustaría saber su método planteando esas dudas.

Gracias!!
Saludos

02 Agosto, 2020, 01:18 pm
Respuesta #1

geómetracat

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No me he visto el vídeo, pero creo que puedo responder igualmente a tus preguntas.

\( \def\lcm{\operatorname{lcm}} \)Hola!
Luego establece que \( a=dx \), \( b=dy \), donde \( d=\gcd(a,b) \). De ahí dice que \( x \) e \( y \) son coprimos. Dudas:

1) ¿Por qué puede llamar a las variables así? ¿No se estaría perdiendo generalidad?
¿Por qué se estaría perdiendo generalidad? Si \( d=\gcd(a,b) \), entonces \( d \) divide tanto a \( a \) como a \( b \). Así que puedes escribir \( a=dx,b=dy \), con \( x,y \) enteros. No hay ninguna pérdida de generalidad aquí.

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2) No lo menciona pero \( x \) e \( y \) vendrían a ser números enteros, ¿verdad?
Sí.

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3) ¿Cómo deduce que en base a eso, \( \gcd(x,y)=1 \) (que son coprimos)?
Supón que \( \gcd(x,y)=d' \). Entonces, \( d' \) divide tanto a \( x \) como a \( y \). Luego \( dd' \) divide a \( a \) y a \( b \), lo que implica que \( dd' | \gcd(a,b) = d \). Y esto implica \( d'=1 \).

Citar
Por último, cuando está escribiendo \( x^2y^2-1=48 \), hace diferencia de cuadrados, \( (xy-1)(xy+1)=48 \). Hasta ahí genial.

Pero luego dice "Pero lo que hay que recalcar aquí es que los factores deben diferir en una cantidad de \( 2 \) unidades. ¿Se podrá escribir al \( 48 \) como un producto de dos números cuya diferencia sea \( 2 \)?", y la respuesta es que sí pues \( 48=6\cdot8 \).

Dudas:

1) ¿Qué propiedades está usando para ver que su diferencia debe dar \( 2 \)? ¿En dónde lo dice?
\( (xy+1) = (xy-1) +2 \)

Citar
2) ¿Por qué el \( 48 \) busca escribirlo como un producto y no con otras operaciones? Por ejemplo la suma o resta.
Pues porque lo tiene escrito como un producto y no como una suma o una resta:
\( 48=(xy-1)(xy+1) \).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

04 Agosto, 2020, 03:19 am
Respuesta #2

manooooh

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Hola

Me ha quedado todo bastante claro. Gracias!!

Sólo una duda:

(...) \( dd' | \gcd(a,b) = d \). Y esto implica \( d'=1 \).

¿No debería ser \( d'=1 \) o \( d'=-1 \)?

Queremos ver que \( ab\mid a\implies b=\pm1 \).

Si \( ab\mid a \) entonces existe \( k \) entero tal que \( a=kab \). Si \( a\neq0 \), \( 1=kb \), y para que el producto de dos enteros de \( 1 \), ambos deben ser \( 1 \) o su inverso aditivo, es decir \( b=1 \) (\( k=1 \)) o \( b=-1 \) (\( k=-1 \)). Y sabemos que \( p\lor q\to p \) es falso en general.

Saludos

04 Agosto, 2020, 08:51 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Hola

Me ha quedado todo bastante claro. Gracias!!

Sólo una duda:

(...) \( dd' | \gcd(a,b) = d \). Y esto implica \( d'=1 \).

¿No debería ser \( d'=1 \) o \( d'=-1 \)?

Queremos ver que \( ab\mid a\implies b=\pm1 \).

Si \( ab\mid a \) entonces existe \( k \) entero tal que \( a=kab \). Si \( a\neq0 \), \( 1=kb \), y para que el producto de dos enteros de \( 1 \), ambos deben ser \( 1 \) o su inverso aditivo, es decir \( b=1 \) (\( k=1 \)) o \( b=-1 \) (\( k=-1 \)). Y sabemos que \( p\lor q\to p \) es falso en general.

Se entiende que estás trabajando en todo momento con naturales, con enteros positivos. En otro caso habría más soluciones que las que indicas en el mensaje inicial: con enteros negativos.

Saludos.

04 Agosto, 2020, 09:12 am
Respuesta #4

manooooh

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