Autor Tema: Integral con doble resultado

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02 Agosto, 2020, 11:56 am
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Guerrero J.

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Buenos días:

Estaba haciendo una integral como repaso, y me he encontrado que hay dos formas de hacerla, la larga y la corta.

La ecuación de la integral es\[  \frac{x^3 + 3x^2 + 3x + 1}{x^2 -2x +1} \].

A primera vista se me ocurrió hacer el método "largo" que es el que aprendí a hacer, cuyo resultado es el siguiente: \[ \frac{x^3 + 9x^2 -10x - 16}{2x - 2} + 12 \ln(x-1) + C \].
(En realidad la fracción son 3 que he juntado porque en el libro aparece de esa manera)

Más tarde me di cuenta de que se podía simplificar por binomios: \( \dfrac{(x+1)^3}{(x-1)^2} \).
Después hice un cambio de variable con la de arriba y hacer todo el desarrollo. De esta forma, el resultado es el siguiente: \[ \frac{x^3 + 9x^2 -21x - 5}{2x - 2} + 12 \ln (x - 1) + C \]
(Aquí, la fracción sale sola)

Ninguno de los dos resultados dados es exactamente como el del libro, pero el libro puede estar confundido.

A primera vista se aprecia que los dos resultados tienen un parecido muy grande, sin embargo es más de lo que supongo que se admitiría, ya que si la diferencia tan solo fuera el término independiente se entendería ya que en la otra ecuación puede estar dentro de la constante, pero en este caso se diferencia en el termino independiente y en una "x" en la fracción.

Además, en la calculadora he hecho la ecuación sin integrar y la he definido para los valores 2-3 y 2-5, y cuando he definido "x" en los resultados y después de restarlos debidamente, el número resultante ha sido el mismo que el de la calculadora.

¿Podrían ayudarme para saber si me he equivocado en algo o si esto es posible?

Gracias
Más vale tarde que mal hecho.

02 Agosto, 2020, 01:01 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Bienvenido al foro. Recuerda leer las normas y que las fórmulas deben ir escritas a LaTeX. Por esta vez te las hemos puesto bien desde moderación.

Los resultados están ambos bien, porque difieren únicamente por una constante. Para verlo fíjate que ambos difieren en un término \[ \frac{x^3+9x^2-10x-16}{2x-2} - \frac{x^3+9x^2-21x-5}{2x-2} = \frac{11x-11}{2(x-1)} = \frac{11}{2} \].
Como cualquier función que difera de una primitiva de otra función por una constante es también una primitiva, ambas son primitivas válidas.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

02 Agosto, 2020, 02:00 pm
Respuesta #2

Juan Pablo Sancho

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Otro camino para resolver la integral:
\( \displaystyle \int \dfrac{(x+1)^3}{(x-1)^2} \ dx = \int \dfrac{((x-1)+2)^3}{(x-1)^2} \ dx  \) cambio \(  t = x-1  \)
\( \displaystyle \int \dfrac{(x+1)^3}{(x-1)^2} \ dx = \int \dfrac{(t+2)^3}{t^2} \ dt = \int \dfrac{t^3 + 6 \cdot t^2 + 12 \cdot t + 8}{t^2} \ dt = \int (t + 6 + \dfrac{12}{t} + \dfrac{8}{t^2}) \ dt = \dfrac{t^2}{2} + 6 \cdot t +12 \cdot \log(t) - \dfrac{8}{t} + C =  \)
\(  = \dfrac{(x-1)^2}{2} + 6 \cdot (x-1) +12 \cdot \log(x-1) - \dfrac{8}{x-1} + C  \) 

03 Agosto, 2020, 05:43 pm
Respuesta #3

Guerrero J.

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Gracias.

Como los resultados diferían en una constante además del término independiente no sabía si estaba bien.
Más vale tarde que mal hecho.