Autor Tema: Inferencia estadística. Intervalo de confianza.

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02 Agosto, 2020, 08:09 am
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gsigcom

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Alguien puede darme una mano con el problema siguiente:

Sean \( X_1,\ldots,X_n \) una muestra aleatoria de \( f(x;\theta)=f(x;\mu,\sigma)=\phi_{\mu,\sigma^2}(x) \). Defina \( \tau(\theta) \) por:

\( \displaystyle\int_{\tau(\theta)}^{\infty}\phi_{\mu,\sigma^2}(x)dx=\alpha \) (\( \alpha \) es fija)

Recordemos cuál es el estimador insesgado de varianza mínima de \( \tau(\theta) \). Encuentre un intervalo de confianza del \( 100\gamma \) por ciento (Si no puede encontrar un intervalo exacto de confianza del 100%, encuentre uno aproximado).

Pista: El estimador insesgado de varianza mínima \( \tau(\theta) \) es una función lineal de \( \bar X \) y \( S.\bar X \) y \( S \) son independientes y tienes grandes distribuciones normales de muestra. Por lo tanto, la distribución de muestra grande del esimador insesgado de varianza mínima (i máxima verosimilitud) de \( \tau(\theta) \) se distribuye normalmente. Uns esto para obtener un intervalo de confianza aproximado.

02 Agosto, 2020, 09:36 am
Respuesta #1

geómetracat

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Bienvenido al foro.
Por favor, no repitas mensajes y escribe el enunciado del problema usando LaTeX. Las imágenes adjuntas son para imágenes auxiliares, no para los enunciados.

Dicho esto, ¿qué has intentado, dónde tienes problemas?
¿Sabes calcular un estimador UMVU para \( \tau(\theta) \)? (En el enunciado dice "recordemos" así que imagino que ya lo has visto.)
Una vez hecho esto, para calcular un intervalo de confianza asintótico hay que seguir la idea que te dan en la pista. De la expresión para el estimador UMVU de \( \tau \) tienes que es una combinación lineal de \( \overline{X} \) y \( S \).
Ahora la idea es obtener la distribución asintótica de \( \hat{\tau} \), que será normal, usando que es combinación lineal de \( \overline{X} \) y \( S \) y que conocemos la distribución asintótica conjunta de \( (\overline{X},S) \).

Una vez hecho esto obtener el intervalo de confianza asintótico es fácil ya que \( \frac{\hat{\tau} - \tau}{\sigma_{\hat{\tau}}} \sim N(0,1)  \) y puedes proceder de la forma usual.

Esto es un esbozo con poco detalle. Si no te sale dí exactamente dónde tienes problemas y lo miramos con más detalle.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)