Autor Tema: Demostración de funciones

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31 Julio, 2020, 04:33 am
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carixto

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Hola
Traigo este ejercicio, es una materia muy nueva y compleja para mi. Espero me puedan ayudar
Sea [texx] f \in C(\mathbb{R},\mathbb{R}) [/texx] cualquiera, solo es necesario una derivada. Se compara [texx] \int_{\mathbb{R}}\! \theta_n(t)f(t) \,dt [/texx] con [texx] f(0) [/texx]. Para esto tenemos:
[texx] \int_{\mathbb{R}}\! \theta_n(t)f(t) \,dt= \int_{-1/n}^{0}\theta_n(t) f(t) \,dt +\int_{0}^{1/n}\! \theta_n(t) f(t) \,dt[/texx]
A partir de esto demuestre que
[texx] \int_{-1/n}^{0}\theta_n(t) f(t) \,dt-f(0) [/texx] [texx]\longrightarrow{0} [/texx] cuando [texx] n\rightarrow{\infty}[/texx]
y
[texx] \int_{0}^{1/n}\theta_n(t) f(t) \,dt -f(0)[/texx] [texx]\longrightarrow{0} [/texx] cuando [texx] n\rightarrow{\infty}[/texx]

Sabiendo que [texx] (\theta_n)_n \subset{} C(\mathbb{R} ,\mathbb{R}[/texx] definida por
[texx] \theta_n(t)=\left\{
\begin{array}{lc}
\\n^2(t+1/n) &  t \in [-1/n,0] \\
\\n^2(1/n-t) &  t\in [0,1/n] \\
\\ 0 & t \not\in [-1/n,0] \cup{} [0,1/n]
\end{array}\right.[/texx]

Dónde además [texx] C (\mathbb{R},\mathbb{R}) [/texx] está dotado de la norma del supremo.

Saludos

31 Julio, 2020, 10:12 am
Respuesta #1

geómetracat

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Pues está mal el enunciado. Debería ser:

A partir de esto demuestre que
[texx] \int_{-1/n}^{0}\theta_n(t) f(t) \,dt-{\color{red} \frac{f(0)}{2}} [/texx] [texx]\longrightarrow{0} [/texx] cuando [texx] n\rightarrow{\infty}[/texx]
y
[texx] \int_{0}^{1/n}\theta_n(t) f(t) \,dt -{\color{red} \frac{f(0)}{2}} [/texx] [texx]\longrightarrow{0} [/texx] cuando [texx] n\rightarrow{\infty}[/texx]

Ahora, observa que \( \int_{-1/n}^{0}\theta_n(t) \,dt = 1/2 \), de forma que:
[texx] |\int_{-1/n}^{0}\theta_n(t) f(t) \,dt- \frac{f(0)}{2}| = |\int_{-1/n}^{0}\theta_n(t) (f(t) -f(0))\,dt| \leq \int_{-1/n}^{0}\theta_n(t) |f(t) -f(0)|\,dt [/texx].
Ahora la idea es que usando la continuidad de \( f(t) \) en \( t=0 \), puedes acotar \( |f(t) -f(0)| \) por un número tan pequeño como quieras siempre que \( n \) sea suficientemente grande, de forma que la expresión de arriba se hace cero cuando \( n \) tiende a infinito. Te dejo a ti completar los detalles con \( \epsilon, \delta \), etc.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)