Autor Tema: Grupo de permutaciones que actúa sobre un conjunto con una cantidad de elementos

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30 Julio, 2020, 05:43 pm
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lindtaylor

  • $$\Large \color{red}\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi\,\pi$$
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Hola. Estyo atascado en este problema.
Considerando n>4, m>2.
Si \( S_n \) actúa transitivamente sobre un conjuntno de m elementos pruebe que \( m\geq n.  \)

Tengo lo siguiente: Supongamos que \( m<n \). La acción permite obtener un homomorfismo \( f:S_n\to S_m \) luego |S_n/\ker(f)| divide a m!, es decir,\( n!\leq m!|\ker(f)| \). Como m<n entonces\(  1<|\ker(f)| \) luego \( \ker(f)=A_n  \)o \( \ker(f)=S_n. \)
Por lo tanto, \( |S_n/\ker(f)|\in \left\{1,2\right\} \) pero no sé donde puedo usar que hay una única orbita. Intuyo que debe ser por la razón \( |S_n/\ker(f)|\in \left\{1,2\right\} \) pero no logro seguir.
....

30 Julio, 2020, 06:15 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Ya casi lo tienes. Lo que te falta: si \( Ker(f)=S^n \), la acción es trivial (deja todos los puntos fijos) y por tanto no es transitiva. El otro caso es \( Ker(f)=A_n \), en este caso tienes \( f:S_n/A_n \to S_m \) inyectiva. Como \( S_n/A_n \) tiene dos elementos, esto quiere decir que la acción de cualquier elemento de \( S_n \) sobre el conjunto de \( m \) elementos o bien es trivial (si el elemento está en \( A_n \)) o bien actúa siempre de la misma manera si el elemento no está en \( A_n \). En particular, si numeramos el conjunto sobre el que actúa de \( 1 \) a \( m \), cualquier elemento de \( S_n \) o bien deja el \( 1 \) fijo o bien lo manda a otro elemento fijo (siempre el mismo). Como \( m>2 \) (y aquí es crucial esta hipótesis) esto implica que la acción no puede ser transitiva, porque si lo fuera tendrías un elemento de \( S_n \) que manda el \( 1 \) a cualquier otro número.

Por cierto, sería interesante que dijeras explícitamente dónde usas la hipótesis \( n>4 \) (a la hora de decir que el núcleo es \( A_n \) o \( S_n \) pues son los únicos subgrupos normales).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)