Autor Tema: Teorema sobre cuádricas.

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29 Julio, 2020, 08:33 am
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martiniano

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Hola.

Recuerdo un teorema que decía algo así como que:

Dada una biyección entre los puntos de dos rectas que conserva la razón doble, el lugar geométrico de las rectas que unen cada punto de una de las rectas con su imagen en la otra es un hiperboloide de una hoja. Si la aplicación conserva además la razón simple, entonces el lugar es un paraboloide hiperbólico.

He buscado este teorema entre mis apuntes pero no lo he encontrado. ¿Alguien conoce un texto dónde aparezca este teorema y, si es posible, su demostración?

Gracias de antemano.

29 Julio, 2020, 01:34 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Recuerdo un teorema que decía algo así como que:

Dada una biyección entre los puntos de dos rectas que conserva la razón doble, el lugar geométrico de las rectas que unen cada punto de una de las rectas con su imagen en la otra es un hiperboloide de una hoja. Si la aplicación conserva además la razón simple, entonces el lugar es un paraboloide hiperbólico.

He buscado este teorema entre mis apuntes pero no lo he encontrado. ¿Alguien conoce un texto dónde aparezca este teorema y, si es posible, su demostración?

Un esbozo:

Una biyección que conserva la razón doble es una homografía (una proyectividad entre las dos rectas). Tomando una referencia proyectiva en la primera \( (P_1,P_2; P_3) \) y tomando en la segunda \( (f(P_1),f(P_2);f(P_3)) \), se puede tomar una referencia en el espacio de manera que las coordenadas proyectivas de cada punto sean:

\( P_1=[1:0:0:0] \)
\( P_2=[0:1:0:0] \)
\( f(P_1)=[0:0:1:0] \)
\( f(P_2)=[0:0:0:1] \)

y de hecho \( f((x:y:0:0))=(0:0;x;y) \).

De ahí los puntos de las rectas que unen un punto con su imagen son de la forma \( (x_0:x_1:x_2:x_3)=(ax:ay:bx:by) \) equivalentemente los que cumplen que sus dos primeras coordenadas son proporcionales a las dos últimas. Equivalentemente:

\( det\begin{pmatrix}{x_0}&{x_1}\\{x_2}&{x_3}\end{pmatrix}=0\quad \Longleftrightarrow{}\quad x_0x_3-x_1x_2=0 \)

Eso es la ecuación de un hiperboloide de una hoa.

Observa que proyectivamente no hay diferencia entre un hiperboloide de una hoja y una paraboloide hiperbólico; la diferencia entre uno y otro está en donde colocamos la recta del infinito al hacer la restricción afín del mismo.

Ahí entra en juego el que la biyección conserve la razón simple; tiene que ver con como actúa la biyección sobre los puntos del infinito de una y otra recta. Corresponde de hecho a que una de las rectas que unen los puntos y sus imágenes es una recta de puntos del infinito.

Saludos.

29 Julio, 2020, 02:09 pm
Respuesta #2

martiniano

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Hola.

Gracias por responder, Luís.

Resulta que no sé lo que es una referencia proyectiva ni unas coordenadas proyectivas. Supongo que estas cosas se estudian en geometría proyectiva, ¿verdad?

¿Me puedes recomendar un libro o algún otro tipo de material donde se traten estas cosas desde el principio?

Muchas gracias. Saludos.

29 Julio, 2020, 02:53 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

Resulta que no sé lo que es una referencia proyectiva ni unas coordenadas proyectivas. Supongo que estas cosas se estudian en geometría proyectiva, ¿verdad?

Si.

Citar
¿Me puedes recomendar un libro o algún otro tipo de material donde se traten estas cosas desde el principio?

Aunque no conozco en detalle todo el texto, alguna vez lo he consultado y no me disgustó este:

https://amontes.webs.ull.es/apuntes/gdh.pdf

Saludos.

29 Julio, 2020, 03:40 pm
Respuesta #4

martiniano

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Hola.

Vale, estupendo. Sí que es verdad que tiene buena pinta.

Gracias. Y un saludo.