Autor Tema: Desigualdad

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29 Julio, 2020, 03:13 am
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weimar

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Hola, como puedo probar la desigualdad
Si
$$(1-Ck)\|u\|^2 \leq{ \|v\|^2+Ck \|w\|^2 }$$ para $$k$$ pequeño , entonces   $$     \|u\|^2 \leq{ (1+Ck)\|v\|^2+Ck \|w\|^2 }$$
con $$C>0, k>0$$ y $$u,v,w$$ en algun espacio normado.

29 Julio, 2020, 12:27 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

Hola, como puedo probar la desigualdad
Si
$$(1-Ck)\|u\|^2 \leq{ \|v\|^2+Ck \|w\|^2 }$$ para $$k$$ pequeño , entonces   $$     \|u\|^2 \leq{ (1+Ck)\|v\|^2+Ck \|w\|^2 }$$
con $$C>0, k>0$$ y $$u,v,w$$ en algun espacio normado.

Sería bueno que explicases el contexto en el que te surge esta cuestión y exactamente que significa ahí "para \( k \) pequeño".

Desde luego que para un valor concreto de \( k \) (grande o pequeño) se cumpla la primera desigualdad no implica que se cumpla la segunda. Sea \( Ck=a<1 \) y supongamos que en la primera desigualdad tenemos la igualdad, es decir,

\( (1-a)\|u^2\|=\|v\|^2+a\|w\|^2 \)

De ahí:

\( \|u^2\|=\dfrac{1}{1-a}\|v\|^2+\dfrac{a}{1-a}\|w\|^2 \)

Ahora:

\( \|u\|^2-(1+a)\|v\|^2-a\|w\|^2=\dfrac{1}{1-a}\|v\|^2+\dfrac{a}{1-a}\|w\|^2-(1+a)\|v\|^2-a\|w\|^2=\dfrac{a^2}{1-a}\|v\|^2+\dfrac{a^2}{1-a}\|w\|^2>0 \)

y por tanto no se cumple la desigualdad indicada.

Así que aclara con más precisión todo: hipótesis, tesis, contexto.

Saludos.

29 Julio, 2020, 02:05 pm
Respuesta #2

weimar

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Hola, el contexto que surge la cuestión , es la siguiente  foto que adjunto.


29 Julio, 2020, 02:46 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

 mmmm... de aquí:

\( (1-Ck)\|u\|^2 \leq{ \|v\|^2+Ck \|w\|^2 } \)

 tienes:

\( \|u\|^2\leq \dfrac{1}{1-Ck}\|v\|^2+\dfrac{Ck}{1-Ck}\|w^2\| \)

 Si tomamos \( k'=\dfrac{k}{1-Ck} \) (nota que cuando \( k\to 0 \), \( k'\to 0 \)), lo anterior queda:

\( \|u\|^2\leq (1+Ck')\|v\|^2+Ck'\|w^2\| \)

 Es lo que se me ocurre.

Saludos.

29 Julio, 2020, 05:09 pm
Respuesta #4

weimar

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Muy agradecido, también pienso que es así.