Autor Tema: Toda función meromorfa tiene una cantidad numerable de polos.

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28 Julio, 2020, 07:20 pm
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lindtaylor

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Hola. Estoy estudiando funciones meromorfas. Tengo entendido que toda función meromorfa tiene una cantidad numerable de polos. En efecto, sea \( f:G\to\mathbb{C} \) función meromorfa. Cada polo a de \( f \) está en \( B(a,r) \) algún \( r>0 \). Ya que los polos son singularidades aisladas, podemos tomar bolas en cada polo que no se intersecten entre si. Cada bola contiene un punto racional, luego estas bolas son numerables y así la cantidad de polos es numerable.

También tengo entendido que los polos de una función meromorfa se van acumulando en la frontera de la región \(  G \). Pero no sé como probarlo. Pensaba distinguir los casos:

Si \( G  \) es acotado entonces los polos se acumulan en la frontera de \( G \).
Si \( G \) no es acotado entonces los polos se acumulan en \( \infty. \)

¿Cómo puedo probar que se acumulan en la frontera?
....

28 Julio, 2020, 08:32 pm
Respuesta #1

geómetracat

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El resultado es que si el conjunto de polos tiene un punto de acumulación, este debe estar en la frontera del dominio. Pero no es necesario que el conjunto de polos tenga puntos de acumulación. De hecho, si la función tiene un número finito de polos no tiene puntos de acumulación.

La prueba es la siguiente. Imagina que el conjunto de polos tiene un punto de acumulación \( a \in G \). Entonces, como la función es meromorfa en \( G \), o bien es holomorfa en \( a \) o bien tiene un polo en \( a \). En cualquier caso, existe un disco centrado en \( a \) que no tiene polos (salvo, quizás, el propio \( a \)). Contradicción con el hecho de que \( a \) es punto de acumulación del conjunto de polos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

28 Julio, 2020, 08:39 pm
Respuesta #2

lindtaylor

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El resultado es que si el conjunto de polos tiene un punto de acumulación, este debe estar en la frontera del dominio. Pero no es necesario que el conjunto de polos tenga puntos de acumulación. De hecho, si la función tiene un número finito de polos no tiene puntos de acumulación.

La prueba es la siguiente. Imagina que el conjunto de polos tiene un punto de acumulación \( a \in G \). Entonces, como la función es meromorfa en \( G \), o bien es holomorfa en \( a \) o bien tiene un polo en \( a \). En cualquier caso, existe un disco centrado en \( a \) que no tiene polos (salvo, quizás, el propio \( a \)). Contradicción con el hecho de que \( a \) es punto de acumulación del conjunto de polos.
Entiendo ese argumento muy bien. Me complica el hecho que si los polos son infinitos numerables entonces necesariamente se acumulan en un punto.
....

28 Julio, 2020, 08:49 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Eso es consecuencia del teorema de Bolzano-Weierstrass: todo conjunto infinito en un compacto tiene un punto de acumulación. Piensa el dominio \( G \) como un subconjunto de la esfera de Riemann. Entonces su clausura \( \overline{G} \) es compacta por ser un cerrado de un compacto (la esfera de Riemann). Por tanto el conjunto de polos, si es infinito, debe tener un punto de acumulación en \( \overline{G} \) (que podría ser el \( \infty \) de la esfera de Riemann).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)