Autor Tema: Linear Dependence Lemma

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28 Julio, 2020, 02:54 pm
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Mariomarquez

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Hola, estoy estudiando el libro de Linear Algebra Done Right y me he atrancado en este lema :banghead:

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Linear Dependence Lemma:

If \( (v_1, . . . , v_m) \) is linearly dependent in \( V  \) and \(  v_1 \neq 0 \), then there exists \( j \in{} \){\( 2, . . . , m \)} such that the following hold:

a)\( v_j ∈ span(v_1, . . . , v_{j−1}); \)

b)if the \( jth \) term is removed from \( (v_1, . . . , v_m) \), the span of the remaining list equals \( span(v_1, . . . , v_m) \).
La prueba de a es:

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Proof:Suppose\(  (v_1, . . . , v_m) \) is linearly dependent in \( V \) and \( v_1 \neq 0 \). Then there exist \( a_1, . . . , a_m \in{} F \), not all 0, such that


       \( a_1v_1 + ··· + a_mv_m = 0. \)

Not all of \( a_2, a_3, . . . , a_m \) can be \( 0 \) (because \( v_1 \neq 0 \)). Let \( j \) be the largest element of {\( 2, . . . , m \)} such that \( a_j \neq 0 \). Then

       \( v_j=-\frac{a_1}{a_j}v_1-...-\frac{a_{j-1}}{a_j}v_{j-1} \)

 proving (a).

Lo que no entiendo es por qué \( v_1 \) tiene que ser distinto de\(  0 \)??

Tampoco entiendo esta igualdad:

    \( v_j=-\frac{a_1}{a_j}v_1-...-\frac{a_{j-1}}{a_j}v_{j-1} \)

¿Por qué se restan los vectores, se dividen por \( a_j \) y se toma hasta \( v_{j-1} \)?

 Gracias. Un saludo!

28 Julio, 2020, 03:13 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Lo que no entiendo es por qué \( v_1 \) tiene que ser distinto de cero??

Es una de las condiciones del teorema a demostrar. Es decir, se quiere demostrar que si se dan unas condiciones A entonces pasa B, dentro de las condiciones de A está que \( v_1\neq 0 \).

Un ejemplo: si yo quisiese demostrar que el conjunto \( \{1,2\} \) no es vacío tendré que partir de ese conjunto y no de otro distinto, ya que estoy probando algo sobre ése, y no otro, conjunto. Pues aquí pasa lo mismo: se quiere demostrar algo en una situación en la que \( v_1\neq 0 \), entonces partimos de eso, no de otra cosa distinta.

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Tampoco entiendo esta igualdad:

    \( v_j=-\frac{a_1}{a_j}v_1-...-\frac{a_{j-1}}{a_j}v_{j-1} \)

¿Por qué se restan los vectores, se dividen por \( a_j \) y se toma hasta \( v_{j-1} \)?

 Gracias. Un saludo!

Ahí simplemente despejan \( v_j \) de la ecuación \( a_1v_1+a_2v_2+\ldots +a_mv_m=0 \), es decir, primero está el paso \( a_jv_j=-a_1v_1-\ldots -a_mv_m \), y luego simplemente se divide por \( a_j \), ya que partimos de la base de que \( a_j\neq 0 \). Como \( j \) es el mayor índice tal que \( a_j\neq 0 \) entonces \( a_{j+1}=a_{j+2}=\ldots =a_m=0 \), de ahí que el resultante sea \( v_j=-\frac{a_1}{a_j}v_1-...-\frac{a_{j-1}}{a_j}v_{j-1} \).

31 Julio, 2020, 05:36 pm
Respuesta #2

Mariomarquez

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