Autor Tema: Matriz Cambio de base de una Transformación Lineal

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06 Agosto, 2020, 07:00 pm
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MAFERRINI

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Hola, soy nuevo por acá y quisiera saber si alguien puede ayudarme con la siguiente pregunta de álgebra lineal, le he dado muchas vueltas pero no encontrar la solución, la pregunta esta adjunta. Gracias de antemano!

Sean \( T:\Bbb R_2[x ]\to \Bbb R^4 \), \( \mathcal C \) la base canónica de \( \Bbb R^4 \) y \( \mathcal{A}=\{1+x+x^2,x+x^2,x-x^2\} \) base de \( \Bbb R_2[x ] \).  Se considera la base \( \mathcal{B}=\{(1,2,3,-1),(0,0,0,-1),(0,1,-1,2),(0,0,1,-2)\} \) de \( \Bbb R^4 \).

Sea P la matriz de cambio de base tal que \( _{\mathcal{B}}(T)_{\mathcal{A}}=P_{\mathcal{C}}(T)_{\mathcal{A}} \). Entonces:

a) La suma de la segunda fila de \( P \) es \( 5 \).

b) La suma de la segunda fila de \( P \) es \( 3 \).

c) La suma de la segunda fila de \( P \) es \( 2 \).

d) La suma de la segunda fila de \( P \) es \( 1 \).

e) La suma de la segunda fila de \( P \) es \( 4 \).


Mensaje corregido desde la administración.

06 Agosto, 2020, 10:42 pm
Respuesta #1

delmar

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Hola MAFERRINI

Bienvenido al foro

Es conveniente que leas las reglas del foro, las fórmulas han de ser escritas en LATEX, hay un tutorial, los enunciados se digitan.

Respecto al problema, no entiendo bien la notación; pero bueno recordando, creo entender que \( _B(T)_A, \ _C(T)_A \) son las matrices correspondientes a la transformación T considerando respectivamente  a las bases A,B  y  A,C. En consecuencia para un elemento genérico X con componentes \( [X]_A \) respecto a la base A, se tiene que las componentes de su transformado T(X) respecto a la base C y B  serán respectivamente \( [T(X)]_C, \ [T(X)]_B \), en ese punto, por ser P la matriz de cambio de base  se tiene :

\( [T(X)]_B=P \ [T(X)]_C\Rightarrow{_B(T)_A \ [X]_A=P \ _C(T)_A \ [X]_A}\Rightarrow{_B(T)_A=P \ _C(T)_A} \)

Ahora sí cada columna de P son las componentes del elemento i-esimo, de la base canónica C, respecto a la base B :

\( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}&{0}\\{2}&{0}&{1}&{0}\\{3}&{0}&{-1}&{1}\\{-1}&{-1}&{2}&{-2}\end{bmatrix}\begin{pmatrix}p_{1i}\\{p_{2i}}\\ {p_{3i}}\\{p_{4i}}\end{pmatrix}=c_i \)
Donde \( c_i \) son los vectores de la base canónica por ejemplo  \( c_1=\begin{pmatrix}{1}\\{0}\\{0}\\{0}\end{pmatrix}... \)
Sistema de 4 ecuaciones y 4 variables se puede resolver, en forma compacta equivale :

\( \begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}&{0}\\{2}&{0}&{1}&{0}\\{3}&{0}&{-1}&{1}\\{-1}&{-1}&{2}&{-2}\end{bmatrix}P=I\Rightarrow{P=\begin{bmatrix}{1}&{0}&{0}&{0}\\{2}&{0}&{1}&{0}\\{3}&{0}&{-1}&{1}\\{-1}&{-1}&{2}&{-2}\end{bmatrix}^{-1}} \)

Te aconsejo resolver con el metódo de Gauss, utilizando matriz ampliada.

Spoiler
No he hecho con rigor las cuentas pero creo que la respuesta es 2
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Saludos

Nota : Siempre es conveniente muestres que has hecho por resolver el problema.

06 Agosto, 2020, 11:51 pm
Respuesta #2

MAFERRINI

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Hola muchas gracias por la respuesta, disculpa que no haya hecho todo como es debido, leeré con detalle las reglas de foro y la próxima vez colocaré todo en regla y lo que llevo hecho, sin embargo había planteado el problema de una manera errada, era imposible llegar a la conclusión que has llegado, no me había dado cuente que la matriz P al fin y al cabo es la matriz que cambia de la base C a la B y no importa que transformación lineal se ha aplicado, tenía dos días intentando resolverlo pero el no saber la transformación lineal me tenía confundido porque todos los problemas que había hecho me daban la transformación lineal aplicada pero en este caso no importa y además siendo la base C la canónica la matriz de cambio de base de B a C es fácil de plantear, de verdad muchas gracias!