Autor Tema: Imagen y núcleo de una aplicación lineal

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

28 Julio, 2020, 04:30 am
Leído 117 veces

lizzma

  • Nuevo Usuario
  • Mensajes: 11
  • País: sv
  • Karma: +0/-0
(a) Dar un ejemplo de una aplicación lineal \( f \); distinta de la aplicación lineal constante cero, tal que \( im f \subseteq{ker f} \):
(b) Dar un ejemplo de una aplicación lineal \( f \); que no sea inyectiva, tal que \( ker f \subseteq{im f} \):
(c) ¿Existe alguna aplicación lineal \( f: \mathbb{Q}^{2005}\rightarrow{\mathbb{Q}^{2005}} \)tal que \( ker f = im f \)?

28 Julio, 2020, 08:58 am
Respuesta #1

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 46,993
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

(a) Dar un ejemplo de una aplicación lineal \( f \); distinta de la aplicación lineal constante cero, tal que \( im f \subseteq{ker f} \):

Dado que una aplicación queda determinada si sabemos la imagen de una base, en \( \Bbb R^2 \) tomando la base canónica podemos definir:

\( f:\Bbb R^2\to \Bbb R^2 \)

verificando:

\( f(1,0)=(0,0) \)
\( f(0,1)=(1,0) \)

Eso garantiza que \( im(f)=\langle (1,0)\rangle=ker(f). \)

Citar
(b) Dar un ejemplo de una aplicación lineal \( f \); que no sea inyectiva, tal que \( ker f \subseteq{im f} \):

Citar
(c) ¿Existe alguna aplicación lineal \( f: \mathbb{Q}^{2005}\rightarrow{\mathbb{Q}^{2005}} \)tal que \( ker f = im f \)?

Por la fórmula de las dimensiones para una aplicación lineal \( f:U\to V \) se cumple que:

\( dim(ker(f))+dim(Im(f))=dim(U) \)

¿Qué conclusión sacas si aplicas esa propiedad a la aplicación cuya posible existencia quieres analizar?.

Saludos.

28 Julio, 2020, 11:18 am
Respuesta #2

manooooh

  • Matemático
  • Mensajes: 2,955
  • País: ar
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola Luis

¿Respuesta al inciso c?
Si suponemos que existe, entonces sabiendo que núcleo e imagen son iguales, sus dimensiones también.

Por el teorema de las dimensiones, \( 2\dim(\ker f)=\dim(\Bbb Q^{2015})=2015 \), es decir \( 2x=2015 \) y no hay ningún entero positivo que cumpla dicha ecuación. Por tanto nuestra suposición de que existía tal función era falsa.

¿Está bien?
[cerrar]

Gracias y saludos

28 Julio, 2020, 11:58 am
Respuesta #3

Luis Fuentes

  • el_manco
  • Administrador
  • Mensajes: 46,993
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola

Hola Luis

¿Respuesta al inciso c?
Si suponemos que existe, entonces sabiendo que núcleo e imagen son iguales, sus dimensiones también.

Por el teorema de las dimensiones, \( 2\dim(\ker f)=\dim(\Bbb Q^{2015})=2015 \), es decir \( 2x=2015 \) y no hay ningún entero positivo que cumpla dicha ecuación. Por tanto nuestra suposición de que existía tal función era falsa.

¿Está bien?
[cerrar]

Está bien.

Saludos.

28 Julio, 2020, 12:19 pm
Respuesta #4

sugata

  • Matemático
  • Mensajes: 2,616
  • País: es
  • Karma: +1/-0
  • Sexo: Masculino
Hola Luis

¿Respuesta al inciso c?
Si suponemos que existe, entonces sabiendo que núcleo e imagen son iguales, sus dimensiones también.

Por el teorema de las dimensiones, \( 2\dim(\ker f)=\dim(\Bbb Q^{2015})=2015 \), es decir \( 2x=2015 \) y no hay ningún entero positivo que cumpla dicha ecuación. Por tanto nuestra suposición de que existía tal función era falsa.

¿Está bien?
[cerrar]

Gracias y saludos

Esto salió hace menos de un año.
Spoiler
Sólo puede conseguirse en espacios pares. Con esa ecuación se demuestra
[cerrar]