Autor Tema: Probabilidad condicional, Bayes?

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28 Julio, 2020, 04:13 am
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Jambo

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Hola! Alguien podría ayudarme con el siguiente ejercicio?

Pablo suele descargarse música online pirata. Una tarde, su computadora comienza a funcionar de manera extraña y sospecha que tiene un virus en la computadora. Se estima que el 0.5% de las personas que descargan música pirata tienen virus informáticos. El antivirus gratuito de su computadora hace un test y afirma que la computadora fue tomada por un virus. Este antivirus de baja calidad detecta un virus el 85% de las veces que efectivamente hay un virus y se equivoca el 1% de las veces en que no hay virus.

Lo primero que me preguntan es: ¿Cuál es la probabilidad de la computadora haya sido tomada por un virus luego de saber que el test dio positivo? (Aproximadamente).

Aquí usé los datos de la letra: \( P(V) = 0.005 \), \( P(T^+|V) = 0.85 \), \( P(T^+|NV) = 0.01 \) donde \( V \) es el evento de que esta infectado con virus,  \( NV \) es que no esta infectado con virus y \( T^+ \) es que el test/análisis dio positivo; apliqué Bayes y llegué a que la probabilidad de que la computadora haya sido infectada es de 0.30 (que está bien según las opciones de respuesta)

Pero luego me proponen lo siguiente:

Desconfiando de su antivirus gratuito, Pablo paga un antivirus de alta calidad que detecta correctamente el 99% de las veces que hay virus y erróneamente el 1% de las veces que no hay virus.

¿Cuál es la probabilidad que Pablo tenga un virus en su computadora, luego que el segundo test también le dé positivo? (Sabemos que condicionalmente a que la computadora esté infectada, ambos tests son independientes).

Para contestar esta ultima pregunta, intenté razonar como en la primera parte, donde los datos serian los mismos con la diferencia de que \( P(T^+|V) = 0.99 \); con este razonamiento llegué a que la probabilidad buscada deberia ser 0.332 aproximadamente, que esta mal :( la respuesta correcta es 0.998, pero no logro llegar a esa resultado :(

Agradezco cualquier ayuda de antemano :)

28 Julio, 2020, 10:45 am
Respuesta #1

Masacroso

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erróneo
Hay algo extraño en el ejercicio, ya que la probabilidad de que el segundo test de positivo es del 100%, es decir, que \( P(T^+_2)=P(T_2^+|V)+P(T_2^+|NV) \).
[cerrar]

Ah, no, jaja, olviden lo de arriba, el calor me está afectando al cerebro. La probabilidad total es \( P(T^+_2)=P(T_2^+|V)P(V)+P(T_2^+|NV)P(NV) \). Entonces la probabilidad que te piden es

\( \displaystyle{
P(V|T_1^+,T_2^+)=\frac{P(T_1^+,T_2^+|V)P(V)}{P(T_1^+,T_2^+)}=\frac{P(T_1^+|V)P(T_2^+|V)P(V)}{P(T_1^+)P(T_2^+)}
} \)

Hay que sustituir y calcular, espero que no haya ningún otro error en el planteo.

CORREGIDO.



Ni caso, lo de arriba creo que está mal, me parece que no es cierto en general que \( P(A,B|C)=P(A|C)P(B|C) \) cuando \( A \) y \( B \) son independientes.

28 Julio, 2020, 12:26 pm
Respuesta #2

Luis Fuentes

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Hola

\( \displaystyle{
P(V|T_1^+,T_2^+)=\frac{P(T_1^+,T_2^+|V)P(V)}{P(T_1^+,T_2^+)}=\frac{P(T_1^+|V)P(T_2^+|V)P(V)}{P(T_1^+)P(T_2^+)}
} \)

Hay que sustituir y calcular, espero que no haya ningún otro error en el planteo.

¡Creo que todavía hay uno!  ;)

Ojo, porque los sucesos \( T_1^+ \) y \( T_2^+ \) no son independientes; intuitivamente si un test dio positivo es más probable que el segundo lo de también, porque es más probable que tenga el virus.

Los que SI son independientes son los condicionados a que tenga el virus o no tenga el virus. Es decir:

\( P(T_1^+,T_2^+)=P(T_1^+,T_2^+|V)P(V)+P(T_1^+,T_2^+|NV)P(NV)=P(T_1^+|V)P(T_2^+|V)P(V)+P(T_1^+|NV)P(T_2^+|NV)P(NV) \)

Saludos.

28 Julio, 2020, 12:38 pm
Respuesta #3

Masacroso

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Hola

\( \displaystyle{
P(V|T_1^+,T_2^+)=\frac{P(T_1^+,T_2^+|V)P(V)}{P(T_1^+,T_2^+)}=\frac{P(T_1^+|V)P(T_2^+|V)P(V)}{P(T_1^+)P(T_2^+)}
} \)

Hay que sustituir y calcular, espero que no haya ningún otro error en el planteo.

¡Creo que todavía hay uno!  ;)

Ojo, porque los sucesos \( T_1^+ \) y \( T_2^+ \) no son independientes; intuitivamente si un test dio positivo es más probable que el segundo lo de también, porque es más probable que tenga el virus.

Los que SI son independientes son los condicionados a que tenga el virus o no tenga el virus. Es decir:

\( P(T_1^+,T_2^+)=P(T_1^+,T_2^+|V)P(V)+P(T_1^+,T_2^+|NV)P(NV)=P(T_1^+|V)P(T_2^+|V)P(V)+P(T_1^+|NV)P(T_2^+|NV)P(NV) \)

Saludos.

Ah, no había leído bien el ejercicio. Cierto que dicen claramente que lo que son independientes son los eventos condicionados, no los absolutos. Ya me parecía que había algo mal.

28 Julio, 2020, 04:59 pm
Respuesta #4

pierrot

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\( P(T_1^+,T_2^+)=P(T_1^+,T_2^+|V)P(V)+P(T_1^+,T_2^+|NV)P(NV)=P(T_1^+|V)P(T_2^+|V)P(V)+P(T_1^+|NV)P(T_2^+|NV)P(NV) \)

Yo había planteado esto, pero no me dio el resultado. Como me dio diferente, empecé a preguntarme si sería cierto que \( P(T_1^+,T_2^+|NV)=P(T_1^+|NV)P(T_2^+|NV) \) y al final no respondí en el hilo. Si los sucesos \( T_1^+ \) y \( T_2^+ \) son independientes condicionados a \( V \), ¿también lo son condicionados a \( V^C \) (que es \( NV \))?

Saludos
$_="loe  hnachaPkr erttes,urJ";$j=0;for($i=0;s/(.)(.{$j})$//;$i++){$_=$2.$_,$j+=1-$i%2,print$1}print

28 Julio, 2020, 07:24 pm
Respuesta #5

Masacroso

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\( P(T_1^+,T_2^+)=P(T_1^+,T_2^+|V)P(V)+P(T_1^+,T_2^+|NV)P(NV)=P(T_1^+|V)P(T_2^+|V)P(V)+P(T_1^+|NV)P(T_2^+|NV)P(NV) \)

Yo había planteado esto, pero no me dio el resultado. Como me dio diferente, empecé a preguntarme si sería cierto que \( P(T_1^+,T_2^+|NV)=P(T_1^+|NV)P(T_2^+|NV) \) y al final no respondí en el hilo. Si los sucesos \( T_1^+ \) y \( T_2^+ \) son independientes condicionados a \( V \), ¿también lo son condicionados a \( V^C \) (que es \( NV \))?

Saludos

Me parece que la independencia condicionada al evento \( V \) no implica necesariamente la independencia condicionada al evento \( NV \). De hecho creo que se podría construir un contra-ejemplo utilizando el espacio de probabilidad \( [0,1] \) con la medida de Lebesgue y tomando intervalos con las probabilidades dadas por el problema.

Quizá se pueda plantear el problema de otra manera o quizá haya que asumir que los eventos son independientes también respecto de \( NV \).

EDICIÓN: de hecho parece ser así, según la wikipedia.

28 Julio, 2020, 08:27 pm
Respuesta #6

Luis Fuentes

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Hola

\( P(T_1^+,T_2^+)=P(T_1^+,T_2^+|V)P(V)+P(T_1^+,T_2^+|NV)P(NV)=P(T_1^+|V)P(T_2^+|V)P(V)+P(T_1^+|NV)P(T_2^+|NV)P(NV) \)

Yo había planteado esto, pero no me dio el resultado. Como me dio diferente, empecé a preguntarme si sería cierto que \( P(T_1^+,T_2^+|NV)=P(T_1^+|NV)P(T_2^+|NV) \) y al final no respondí en el hilo. Si los sucesos \( T_1^+ \) y \( T_2^+ \) son independientes condicionados a \( V \), ¿también lo son condicionados a \( V^C \) (que es \( NV \))?

Efectivamente en general la independencia de dos sucesos condicionados a un tercero no equivale a la independencia de los mismos condicionados a su complementario.

Es fácil diseñar un experimento para tener un contraejemplo; se tira una moneda \( A \):

- Si sale cara se tiran dos monedas y se anotan sucesivamente los resultados \( R_1,R_2 \).
- Si sale cruz se tiran una monedas y se anota repetido su resultado \( R_1=R_2 \).

Las variables \( R_1,R_2 \) son independientes condicionadas a que salga cara en \( A \), pero dependientes condicionadas a que salga cruz en \( A \).

Sin embargo en este ejercicio no hay, en mi opinición, duda con esa asunto; la independencia de los sucesos condicionados no está dicha de manera explícita en el enunciado pero si se sobrentiende de manera implícita por la naturaleza del problema que estamos modelizando.

El comportamiento de un test para detectar el virus sólo depende de que el ordenador tenga o no el virus.

Si sabemos que los tiene: uno, dos o mil tests se comportarán de manera independiente cada uno con su probabilidad de detección.

Igualmente si sabemos que el ordenador no está infectado: uno, dos o mil tests se comportarán también de manera independiente de nuevo con la correspondientes probabilidad de acierto.

La dependencia aparece si NO sabemos si el ordenador está o no infectado, porque el resultado de un test aporta información sobre la posibilidad de que el ordenador tenga o no el virus, y por tanto afecta a las probabilidades de positivo del segundo test.

Saludos.

29 Julio, 2020, 05:50 am
Respuesta #7

Jambo

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Gracias a todos por contestar. Ya pude llegar a la respuesta correcta :) Me entreveré con la letra :banghead: