Autor Tema: Calcular función de densidad de variable aleatoria.

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26 Julio, 2020, 03:48 pm
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zaibelzambrano

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Hola, les presento un ejercicio de función de densidad que no he logrado hacer, ojalá puedan ayudarme. Me gustaría me explicaran paso a paso por favor!!!! Gracias de antemano.

El siguiente resultado es importante porque nos permite calcular la función de densidad (y por tanto la de distribución) de una suma de variables aleatorias independientes, a partir del conocimiento de las funciones de densidad individuales asociadas a cada variable.


Sean \( X \) e \( Y \) variables aleatorias independientes. Si \( X \) e \( Y \) tienen función de densidad conjunta \( f \), entonces \( Z=X+Y \) tiene función de densidad conjunta dada por:

\( f_Z(z)=\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)dx=\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f_X(z-y)f_Y(y)dy \)



Dadas \( X \) e \( Y \) variables independientes con distribución uniforme \( [3,7] \) y \( [8,12] \) respectivamente, hallar la función de densidad de la variable aleatoria \( Z=X+Y. \)



Bienvenido al foro.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

Mensaje corregido desde la administración.


26 Julio, 2020, 08:17 pm
Respuesta #1

Masacroso

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Es un ejercicio trivial, ¿que dificultad exactamente tienes? ¿Sabes cuáles son las funciones de densidad de \( X \) e \( Y \)? Si no es así deberías repasar la definición de distribución uniforme en un conjunto, puedes mirar aquí por ejemplo:

https://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_uniforme_continua#Caracterizaci%C3%B3n

Una vez conocidas \( f_X \) y \( f_Y \) sólo te queda integrar. Fijando un \( z\in \mathbb{R} \) cualquiera puedes ver entre qué valores de \( x \) (o de \( y \)) el integrando no es cero, eso te simplificará enormemente el cálculo de la integral.

28 Julio, 2020, 10:51 pm
Respuesta #2

zaibelzambrano

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Hola he visto el enlace, además de esto he buscado por otras partes y no logro entender, estoy bloqueada, este ejercicio me ha causado hasta desvelo, te ruego que por favor me ayudes, no se que hacer!!!!! :'(

28 Julio, 2020, 11:18 pm
Respuesta #3

Luis Fuentes

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Hola

 Pues la función de densidad de la variable \( X  \)uniforme en \( [3,7] \) es \( f(x)=\dfrac{1}{7-3} \) para \( x\in [3,7]. \)

 La función de densidad de la variable \( Y  \)uniforme en \( [8,12] \) es \( g(y)=\dfrac{1}{12-8} \) para \( y\in [8,12]. \)

 La variable \( Z=X+Y \) tiene entonces soporte en \( [3+8,12+7]=[11,19] \).

 Según el teorema dado su función de densidad \( h(z) \) es para \( z>11 \):

\( h(z)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)g(z-x)dx=\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{3}^{7}g(z-x)dx \)

 Teniendo en cuenta que \( g(y) \) se anula fuera de \( [8,12] \). Distingue:

- Si \( 11\leq z\leq 15 \), \( h(z)=\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{3}^{z-8}g(z-x)dx=\dfrac{1}{4^2}(z-11) \)

- Si \( 15\leq z\leq 19 \), \( h(z)=\dfrac{1}{4}\displaystyle\int_{z-12}^{7}g(z-x)dx=\dfrac{1}{4^2}(19-z) \)

Saludos.

29 Julio, 2020, 03:16 am
Respuesta #4

zaibelzambrano

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El ejercicio llega hasta allí? Es decir no se debe desarrollar mas nada? Gracias, muchas gracias, que me recomiendas para dominar estadística y probabilidad? Por donde empiezo? Algunas páginas que me puedas recomendar? Lo agradezco mucho!

29 Julio, 2020, 11:28 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

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Hola

El ejercicio llega hasta allí? Es decir no se debe desarrollar mas nada?

Me parece desconcertante esa pregunta. El ejercicio te pide una función de densidad; la respuesta que he esbozado es.. una función de densidad. ¿Por qué crees que debería de hacerse algo más?¿Hay algo que te suene raro?.

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Gracias, muchas gracias, que me recomiendas para dominar estadística y probabilidad? Por donde empiezo? Algunas páginas que me puedas recomendar? Lo agradezco mucho!

Para ser sincero no sabría recomendarte documentos concretos. En todo este tema mi consejo es que intentes entender en todo momento la relación entre lo teórico y lo que modelizamos; la probabilidad tiene una parte muy intuitiva, muy "visible". Hay muchos ejemplos reales. Eso debería de ayudarte a entenderla mejor.

Saludos.