Autor Tema: ¿Existen enunciados existenciales que vengan en forma de condicionales?

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26 Julio, 2020, 11:57 am
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manooooh

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Hola!

Todos sabemos que cuando leemos "Todos los hombres son negros" uno lo traduce formalmente así: \( \forall x(h(x)\to n(x)) \). Ahí no tengo dudas.

Mi duda viene al querer traducir este otro enunciado: "Existen hombres que son negros". La traducción no es \( \exists x(h(x)\to n(x)) \), sino \( \exists x(h(x)\land n(x)) \).

¿Para que se traduzca efectivamente como \( \exists x(h(x)\to n(x)) \) el enunciado debe cambiar a "Existen personas que si son hombres, entonces son negros"? ¿O cuando usamos el existencial, ningún enunciado puede traducirse de manera directa usando el condicional?

La pregunta en negrita es la clave para esclarecer mi duda.

Soy consciente de que obviamente dada una proposición \( p \), siempre la podremos convertir en condicional ya que \( p\equiv p\lor p\equiv\neg(\neg p)\lor p\equiv\neg p\to p \). Pero esto ya sería "forzar" al enunciado original a escribirse como otra cosa equivalente.

Espero me sepan entender y sino estoy dispuesto a aclarar lo que haga falta.

Gracias!!
Saludos

26 Julio, 2020, 12:45 pm
Respuesta #1

geómetracat

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Todos sabemos que cuando leemos "Todos los hombres son negros" uno lo traduce formalmente así: \( \forall x(h(x)\to n(x)) \). Ahí no tengo dudas.

Mi duda viene al querer traducir este otro enunciado: "Existen hombres que son negros". La traducción no es \( \exists x(h(x)\to n(x)) \), sino \( \exists x(h(x)\land n(x)) \).
Bien.

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¿Para que se traduzca efectivamente como \( \exists x(h(x)\to n(x)) \) el enunciado debe cambiar a "Existen personas que si son hombres, entonces son negros"?
Sí, suponiendo que el universo del modelo (sobre el que cuantificas) esté formado por personas.

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¿O cuando usamos el existencial, ningún enunciado puede traducirse de manera directa usando el condicional?
Esto no lo entiendo.

En cualquier caso, \( \exists x(h(x)\to n(x)) \) y \( \exists x(h(x)\land n(x)) \) expresan cosas muy distintas. La segunda es cierta exactamente cuando existe algún hombre negro. La primera será cierta si existe alguna persona que no es hombre, o si existe alguna persona negra, porque es equivalente a \( \exists x(\neg h(x) \vee n(x)) \), que a su vez es equivalente a \( \exists x \neg h(x) \vee \exists x n(x) \). Dicho de otra manera, \( \exists x(h(x)\to n(x)) \) solamente es falsa si todas las personas son hombres que no son negros.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

26 Julio, 2020, 09:52 pm
Respuesta #2

manooooh

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Hola

Muchas gracias geómetracat por tu respuesta

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¿O cuando usamos el existencial, ningún enunciado puede traducirse de manera directa usando el condicional?
Esto no lo entiendo.

Me lo temía.

Lo que trato de preguntar es si existen "enunciados naturales" (y que sean teoremas bonitos o interesantes) que enuncien una proposición como \( \exists x(p(x)\to q(x)) \). Por "enunciado natural" me refiero a que si uno dice por ejemplo "Existen lápices rojos", que se traduce como \( \exists x(l(x)\land r(x)) \), se puede escribir de forma equivalente como \( \exists x[\neg(l(x)\land r(x))\to l(x)\land r(x)] \), aunque claro, traducir eso en castellano nadie lo hace. Simplemente se usa la forma simplificada.

Bueno, pregunto por si hay casos en que justamente se enuncien propiedades existenciales en forma de condicional sin que este condicional provenga de haber usado equivalencias (como el caso de los lápices rojos). ¿Me explico mejor ahora?

Saludos

26 Julio, 2020, 10:15 pm
Respuesta #3

geómetracat

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Ya te entiendo.
Pues no creo que sea muy útil. Porque \( \exists x (p(x) \to q(x)) \) es cierto si hay algún objeto \( a \) tal que \( p(a) \) es falso. Es decir, que si \( \exists x (p(x) \to q(x)) \) es cierto necesariamente debe ser cierta \( \forall x p(x) \). Esto limita bastante su utilidad, porque si \( \exists x \neg p(x) \) es cierta, \( \exists x (p(x) \to q(x)) \) es automáticamente verdadera, independientemente de qué pase con \( q(x) \).
De hecho, como dije antes, es equivalente a \( {\color{red} \neg}\forall x p(x) \vee \exists x q(x) \), que es una expresión bastante más natural.

Aunque tampoco estaría dispuesto a jurar que una expresión de tal tipo nunca pueda ser útil o aparecer en alguna demostración. Podría ser que fuera útil en algunas circunstancias, pero a mí ahora no se me ocurre ninguna.

Corregido.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

26 Julio, 2020, 11:15 pm
Respuesta #4

manooooh

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Hola

Pues no creo que sea muy útil. Porque \( \exists x (p(x) \to q(x)) \) es cierto si hay algún objeto \( a \) tal que \( p(a) \) es falso. Es decir, que si \( \exists x (p(x) \to q(x)) \) es cierto necesariamente debe ser cierta \( \forall x p(x) \). Esto limita bastante su utilidad, porque si \( \exists x \neg p(x) \) es cierta, \( \exists x (p(x) \to q(x)) \) es automáticamente verdadera, independientemente de qué pase con \( q(x) \).
De hecho, como dije antes, es equivalente a \( {\color{red} \neg}\forall x p(x) \vee \exists x q(x) \), que es una expresión bastante más natural.

Te entiendo. Al principio cuando dijiste que es verdadera si existe un \( a \) tal que \( p(a) \) es falsa también me imaginaba: "¿Por qué no dice también que ese condicional es verdadero cuando \( q(a) \) puede ser verdadero para que el condicional lo sea?", pero al final del párrafo lo mencionaste.

Más dudas (lingüísticas)
Tengo entendido que la palabra "condicional" se emplea para hablar de \( p\to q \), sin suponer que sabemos su valor de verdad (en forma general). Pero cuando usamos la palabra "implicación", nos referimos a que el condicional es verdadero (que son 3 de los 4 casos de su tabla), ¿puede ser?

Otra duda lingüística: Cuando decimos "\( p(b) \) es verdadero", ¿es masculino o femenino? Porque según entiendo uno está traduciendo que la valuación de \( p(b) \) es V, es decir \( v[p(b)]=\mathrm{V} \), que resulta femenino. También se dice "El valor de verdad de \( p(b) \) es verdadero", en ese caso es masculino. ¿Es indistinto ponerle el género o conviene usar uno y no otro por algún motivo? Sea por convención, porque el libro en donde se usa siempre usa un mismo término como "LA valuación" etc.
[cerrar]

Aunque tampoco estaría dispuesto a jurar que una expresión de tal tipo nunca pueda ser útil o aparecer en alguna demostración. Podría ser que fuera útil en algunas circunstancias, pero a mí ahora no se me ocurre ninguna.

Está bien, ya veía que era improbable que se llegase a usar por algún matemático, pero me interesó mucho que lo respondieras.

Saludos y buen inicio de semana

28 Julio, 2020, 12:42 am
Respuesta #5

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Hola

He agregado unas dudas al último mensaje.

Saludos

28 Julio, 2020, 10:37 am
Respuesta #6

geómetracat

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Tengo entendido que la palabra "condicional" se emplea para hablar de \( p\to q \), sin suponer que sabemos su valor de verdad (en forma general). Pero cuando usamos la palabra "implicación", nos referimos a que el condicional es verdadero (que son 3 de los 4 casos de su tabla), ¿puede ser?

Pues no sé, la verdad. Yo refiriéndome a una fórmua lógica suelo decir "condicional", pero otra gente llama a eso "implicación" sin que necesariamente tenga que ser verdadero. También mucha gente (yo incluido, creo) llama al conector lógico \( \to \) "implicador". En fin, no es algo importante y no creo que haya un uso universal. La verdad es que yo no me fijo mucho en esas cosas.

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Otra duda lingüística: Cuando decimos "\( p(b) \) es verdadero", ¿es masculino o femenino? Porque según entiendo uno está traduciendo que la valuación de \( p(b) \) es V, es decir \( v[p(b)]=\mathrm{V} \), que resulta femenino. También se dice "El valor de verdad de \( p(b) \) es verdadero", en ese caso es masculino. ¿Es indistinto ponerle el género o conviene usar uno y no otro por algún motivo? Sea por convención, porque el libro en donde se usa siempre usa un mismo término como "LA valuación" etc.

Tres cuartos de lo mismo. Supongo que lo más lógico sería decirlo en femenino, porque es como decir "la sentencia \( \varphi \) es verdadera en e modelo tal" (si es una sentencia la valuación es irrelevante) o "la fórmula tal es verdadera en el modelo tal con tal valuación". Pero por otro lado, en casos concretos se suele usar en masculino, por ejemplo "es verdadero que existen hombres negros", mientras que "es verdadera que existen hombres negros" suena bastante raro.
En fin, la verdad es que no es algo en que me fije mucho o le de mucha importancia.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

28 Julio, 2020, 11:13 am
Respuesta #7

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Hola

Muchas gracias por tomarte el tiempo.

Estoy de acuerdo contigo.

La palabra "implica" tiende a usarse cuando uno dice que tal cosa implica tal otra. "Que estar más ocupado implica tener menos tiempo". Ahí es bastante evidente que no puede ocurrir que aunque esté ocupado tenga tiempo de sobra, porque se emplea "implica", si se sabe que pasa \( p \) entonces pasa \( q \). El condicional es algo más genérico. ¿Es un argumento válido?

Saludos

28 Julio, 2020, 11:23 am
Respuesta #8

geómetracat

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Sí, cuando se usa así "implica" suele significar que el condicional es verdadero, tienes razón.
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