Autor Tema: Funcion de densidad

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26 Julio, 2020, 06:36 am
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carixto

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Hola!
Traigo un ejercicio que no he logrado hacer.

Sea [texx] Y [/texx] que tiene la siguiente función de densidad de probabilidad:

[texx]f_Y(y)=\left\{
\begin{array}{lc}
( 2(\theta-y))/\theta &  0<y<\theta \\
\\ 0 &  \text{en otro caso} \\
\end{array}\right.[/texx]

  • Determine la funcion de distribución acumulativa.
  • Pruebe que [texx] Y/\theta [/texx] es una cantidad pivote (que [texx] F_U(u)[/texx]  no depende de [texx] \theta [/texx]).

Saludos
             

26 Julio, 2020, 08:38 am
Respuesta #1

pierrot

  • pabloN
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Hola,

Para la parte 1:

\( \displaystyle F_Y(y)=P(Y\leq y)=\int_{-\infty}^yf_Y(t)dt \)

Como la función de densidad está definida por partes, tendrás que discriminar según el valor de \( y \):

\( F_Y(y)=\displaystyle \int_{-\infty}^yf_Y(t)dt=\left\{\begin{array}{ll}0& \text{si $y<0$}\\\displaystyle \dfrac2{\theta^2}\int_0^y(\theta-t)dt & \text{si $0\leq y<\theta$}\\1& \text{si $y\geq \theta$}\end{array}\right. \)

Queda:

\( F_Y(y)=\left\{\begin{array}{ll}0& \text{si $y<0$}\\ \dfrac2{\theta^2}\left(\theta y-\dfrac{y^2}2\right)=\dfrac{2y}\theta-\dfrac{y^2}{\theta^2}& \text{si $0\leq y<\theta$}\\1& \text{si $y\geq \theta$}\end{array}\right. \)

Para la parte 2, simplemente ten presente que:

\( F_U(u)=P(U\leq u)=P(Y/\theta\leq u)=P(Y\leq \theta u)=F_Y(\theta u) \). Sustituye la \( y \) por \( \theta u \) en la fórmula calculada antes y corrobora que no queda dependiendo de \( \theta \).

Saludos.
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