Autor Tema: Hallar función distribución

0 Usuarios y 1 Visitante están viendo este tema.

30 Julio, 2020, 01:56 pm
Leído 129 veces

Jambo

  • $$\pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 178
  • País: uy
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino
Hola! Alguien podría ayudarme con el siguiente ejercicio?

Considere un "circulo aleatorio" centrado en el origen tal que el radio \( R \) de dicho circulo se distribuye como una variable aleatoria uniforme en el intervalo \( [0,1] \). Hallar la función de distribución de la variable \( A \) siendo \( A \) el área de dicho circulo.

Quise aplicar la definición de la función de distribución, \( P(A\leq{a}) \), y luego pensé que \( a \) estaría entre 0 y \( \pi \), entonces \( P(A\leq{a}) \) sería 0 si \( a<0 \) , pero no sé como sacar cuanto valdría cuando \( 0\leq{a}\leq{\pi} \) (y tampoco estoy segura si tengo que considerar el caso de que \( a\geq{\pi} \))

Agradezco cualquier ayuda de antemano :)

30 Julio, 2020, 02:43 pm
Respuesta #1

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,881
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
Quise aplicar la definición de la función de distribución, \( P(A\leq{a}) \), y luego pensé que \( a \) estaría entre 0 y \( \pi \), entonces \( P(A\leq{a}) \) sería 0 si \( a<0 \)
Bien.
Citar
pero no sé como sacar cuanto valdría cuando \( 0\leq{a}\leq{\pi} \) (y tampoco estoy segura si tengo que considerar el caso de que \( a\geq{\pi} \))
El caso \( a \geq \pi \) es igual de fácil que el anterior: \( P(A \leq a) =1 \), porque el área debe estar entre \( 0 \) y \( \pi \).
El caso interesante es \( 0 \leq a \leq \pi \). Para calcular esto, usa que:
\( P(A \leq a) = P(\pi R^2 \leq a) = P(R^2 \leq a/\pi) = P(R \leq \sqrt{a/\pi}) \)
donde en el último paso se usa que \( R \geq 0 \). A partir de aquí intenta acabar tú.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

30 Julio, 2020, 04:12 pm
Respuesta #2

Jambo

  • $$\pi \pi \pi$$
  • Mensajes: 178
  • País: uy
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Femenino
Hola

No me doy cuenta como justificar (¿analíticamente?) que \( P(A \leq a) =1 \) cuando \( a\geq{\pi} \)  :-\

Para el otro caso lo pienso como probabilidades geométricas: \(  P(R \leq \sqrt{a/\pi}) = \frac{long([0,\sqrt{a/\pi}])}{long[0,1]} =  \sqrt{a/\pi}  \), ¿esto está bien?

30 Julio, 2020, 04:54 pm
Respuesta #3

geómetracat

  • Moderador Global
  • Mensajes: 1,881
  • País: es
  • Karma: +0/-0
  • Sexo: Masculino
No me doy cuenta como justificar (¿analíticamente?) que \( P(A \leq a) =1 \) cuando \( a\geq{\pi} \)  :-\
Pues porque, como ya has notado antes, si el radio está entre \( 0 \) y \( 1 \) el área del círculo estará entre \( 0 \) y \( \pi \). De manera que la probabilidad de que el área esté en \( [0,\pi] \) es \( 1 \).
También lo puedes hacer como en el caso intermedio, es decir:
\( P(A \leq a) = P(R \leq \sqrt{a/\pi}) \). Pero si \( a>\pi \), \( \sqrt{a/\pi}>1 \) y por tanto \( P(R \leq\sqrt{a/\pi}) =1  \).

Citar
Para el otro caso lo pienso como probabilidades geométricas: \(  P(R \leq \sqrt{a/\pi}) = \frac{long([0,\sqrt{a/\pi}])}{long[0,1]} =  \sqrt{a/\pi}  \), ¿esto está bien?
Sí, está bien. Aunque no sé qué quieres decir exactamente con "probabilidades geométricas", lo que haces ahí es esencialmente usar la definición de distribución uniforme.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)