Autor Tema: Circunferencia inscrita en triángulo isósceles

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22 Junio, 2007, 03:55 pm
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mathtruco

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Hola,
 tengo el siguiente problema:

Se tiene una circunferencia de radio R fijo inscrita en un triángulo isósceles, y se quiere determinar la altura del triángulo en función del radio R que haga que el perímetro del triángulo sea el mínimo.






Las relaciones que llevo:

Sean a, a y b las dimensiones de los lados del triángulo,  h la altura del triángulo y p el perímetro del triángulo

\( p=2a+b \) 

\( h^2=a^2-\left(\displaystyle\frac{b}{2}\right)^2 \)

\( 2aR+bR = b\sqrt{a^2-\left( \displaystyle\frac{b}{2}\right)^2} \)

de donde:  \( p=\displaystyle\frac{b}{R}\sqrt{a^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2} \)

debe haber alguna relación entre uno de los lador y el radio R que no veo.


Correcciones P.D.: Gracias Jabato (y al moderador) por la corrección

22 Junio, 2007, 05:41 pm
Respuesta #1

Luis Fuentes

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Hola

 Ayuda:

 Un pequeño cambio en tu dibujo.



 Utiliza la semejanza un par triángulos rectángulos que hay por ahí:

\( \displaystyle\frac{h-R}{x+y}=\displaystyle\frac{R}{y}=\displaystyle\frac{x}{h} \)

 Con eso puedes poner todo en función de R y h.

Saludos.

P.D. Pero sale la cosa especialmente rápida si pones "todo" (y es fácil) en función del radio R y del ángulo A que forma la altura y el lado repetido del triángulo.

22 Junio, 2007, 06:44 pm
Respuesta #2

Jabato

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Yo diría que tu enunciado esta escrito de forma que resulta confuso, y parece que es lo que te impide resolver el problema.

Debe suponerse que el radio de la circunferencia es constante, no varía, y entonces tu enunciado ya tiene sentido. En este supuesto al variar por ejemplo b, a debe adoptar otro valor distinto, si b aumenta a debe disminuir. Entonces debe calcularse, en este supuesto, los valores de a, b que hacen el perímetro mínimo, y una vez hecho esto, calcular la altura del triángulo en función del radio de la circunferencia.

En una primera fase del problema debemos buscar la relación que liga a las variables a, b, R. Sea \( \theta \) el semiángulo en el vértice superior:

(1) \( Sen(\theta)=\displaystyle\frac{b}{2a} \)           (2) \( Cos(\theta)=\displaystyle\frac{h}{a} \)

(3) \( h-R = aCos(\theta) - R=RSen(\theta)=R\displaystyle\frac{b}{2a} \)            (4) \( Cos(\theta)=R\displaystyle\frac{2a+b}{2a^2} \)

Ecuaciones de las que puedes eliminar \( \theta \) entre (1) y (4) y obtienes la relación buscada, haciendo que:


\( Sen^2(\theta) + Cos^2(\theta) =1 \)

El resto ya es fácil, ¿no?

Saludos, Jabato.

23 Junio, 2007, 11:25 am
Respuesta #3

jorgekarras

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Como otra alternativa.

Sabemos que una triángulo rectángulo es la mitad de un cuadrilátero. La hipotenusa del primero, es la diagonal del segundo.
Un cuadritálero donde el perímetro nunca varía, alcanza su máxima áera cuando los lados son iguales (cuando resulta un cuadrado), y es precisamente cuando su diagonal es más corta. Ergo...

23 Junio, 2007, 01:03 pm
Respuesta #4

Jabato

  • Visitante
También puede razonarse de la siguiente forma, de acuerdo con la figura que dibujó el manco, por simetría debe de cumplirse que el perímetro será mínimo cuando los segmentos x, y sean iguales ya que si son distintos el perímetro tiende a infinito al crecer cualquiera de los segmentos x, y indefinidamente, lo que nos conduce a que al ser iguales debe alcanzarse la posición de mínimo.

Esto nos conduce a que el perímetro es mínimo cuando el triángulo es equilátero (x, y iguales), y a partir de aquí el resto ya es fácil.

Saludos, Jabato.

24 Junio, 2007, 10:48 am
Respuesta #5

Luis Fuentes

  • el_manco
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Hola

 El razonamientode jorgekarras, francamente, no lo veo. Yo creo que no está bien, salvo que algo se me escape. De hecho no tengo clara cual es la solución que se supone que se deduce de él. ¿Ergo...?.

 El de Jabato, aunque tiene buena pinta y da la solución correcta, me deja ciertas dudas en cuanto a si es reiguroso. Es cierto que si son distintos el perímetro crece. Pero no estoy seguro de cual es el argumento exacto que nos permite hacer esa afirmación (sin hacer cuentas). Al aumentar x disminuye y y al aumentar y disminuye x, por lo que no veo evidente que la afirmación tenga que ser verdadera.

 Ese tipo de razonmaientos de simetría suelen funcionar bien en muchos casos y son un gran atajo. Pero aun así hay que tener cuidado y justificar bien cada paso. En definitiva creo que quizá haría falta aclararlo un poco más. O es que me falta "ver" algo...

Saludos.

24 Junio, 2007, 11:37 am
Respuesta #6

Jabato

  • Visitante
No dije que mi razonamiento fuera riguroso, de hecho no lo es, hace agua por todas partes, pero este tipo de razonamientos suele ser indicativo de cual es el camino a seguir, y de hecho hay muchas veces que dan con la solución, pero también es cierto que a veces fallan, tienes razón en eso, no te la quito. Podría ocurrir que el mínimo estuviera muy próximo a esa posición pero no coincidiera exactamente con ella, para resolverlos con la seguridad debida hay que ir a las ecuaciones que planteé u otras equivalentes.

De hecho el perímetro puede expresarse como función de los parámetros x, y en la forma:

\( 2p = 2x + 4y \)

en la que ni siquiera los coeficientes de ambas variables son iguales, con lo que verdaderamente resulta arriesgado afirmar que el mínimo se encuentra justo en la bisectriz y = x. Acerté, pero fué casualidad, es cierto.

Podríamos intentar mejorarlo, buscando como varían los incrememtos de x e y substituyéndolos en el incremento del perímetro ya que:

\( \Delta2p = 2\Delta x + 4\Delta y \)

y calcular dichos incrementos en la posición en que x = y, para ver que el perimetro no varia en ese punto, aunque no sé si merece la pena hacerlo.

Tendría que ocurrir que, cuando el triángulo es equilátero, el incmemento de x fuera exactamente el doble que el de y, cambiado de signo, para que sus variaciones se compensaran y el incremento del perímetro fuera nulo. Entonces si habríamos demostrado la cosa.


Saludos, Jabato.

24 Junio, 2007, 06:24 pm
Respuesta #7

mathtruco

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