Autor Tema: Anillos dominio de integridad

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25 Julio, 2020, 12:29 am
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maridiaz

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Ayuda con estos ejercicios

1) Demuestre que \( (P(A),\Delta,\cap) \)  es un anillo conmutativo unitario para las operaciones: \( \Delta \)  y \( \cap \).

¿En este ejercicio que operación es esta \( \Delta \)? y ¿cómo debo probar que es grupo abeliano?, la intersección ya la tengo resuelta

2) Sea \( F \) el conjunto de las funciones cuyo dominio y codominio son los enteros. Muestre que  el conjunto \( F \) es un Anillo si  se dota de las operaciones:

\( (f+g)(x)=f(x)+g(x) \)  y  \( (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x) \) , con \( f,g\in F \)

Esto no lo entiendo no se como se resuelve

3) Determine cuáles de los siguientes anillos son Dominio de Integridad:
a. \( (\Bbb R,+,\cdot) \)    b. \( (\Bbb Z,+,\cdot) \)    c. \( (\{6x|x\in \Bbb Z\},+,\cdot) \)

en este debo probarlo en las dos operaciones o con una basta para ser dominio de integridad.

4) Sea \( {\Bbb Q}_2 \)  el  conjunto de los número racionales con \( {\Bbb Q}_2=\{m/n:m.n\in \Bbb Z,n\neq 0\textsf{ y $m∧n$ son primos relativos y $2$ no es un factor de $n$}\} \). ¿Es \( ({\Bbb Q}_2,+.\cdot ) \) un anillo con dominio de integridad.

y este ejercicio lo puede hacer como si fuese \( ({\Bbb Q},+.\cdot ) \) sino cual es la diferencia?

Mensaje corregido desde la administración.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.


25 Julio, 2020, 04:38 am
Respuesta #1

Masacroso

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1) Demuestre que \( (P(A),\Delta,\cap) \)  es un anillo conmutativo unitario para las operaciones: \( \Delta \)  y \( \cap \).

¿En este ejercicio que operación es esta \( \Delta \)? y ¿cómo debo probar que es grupo abeliano?, la intersección ya la tengo resuelta

El símbolo \( \triangle \) o \( \Delta  \) en ese contexto se refiere al operador diferencia simétrica y se define como

\( \displaystyle{
A \,\triangle\, B:=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)=(A\cup B)\setminus (A \cap B)
} \)

Citar
2) Sea \( F \) el conjunto de las funciones cuyo dominio y codominio son los enteros. Muestre que  el conjunto \( F \) es un Anillo si  se dota de las operaciones:

\( (f+g)(x)=f(x)+g(x) \)  y  \( (f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x) \) , con \( f,g\in F \)

Esto no lo entiendo no se como se resuelve

Tienes que mostrar que cumple la definición de anillo, es decir que la terna \( (F,+,\cdot ) \) es un anillo, o lo que es lo mismo, si tienes funciones \( f,g\in F \) entonces \( f\cdot g\in F \), \( f+g=g+f \) y \( f+g\in F \), y además que existen funciones \( r,s\in F \) tales que \( f+r=r+f=f \) y \( f\cdot s=s\cdot f=f \) para cualquier \( f\in F \), es decir, que existe una unidad aditiva o cero y una unidad multiplicativa o uno en \( F \) (aquí asumo que se está utilizando la definición de anillo que implica la existencia de una unidad, que suele ser la definición más común).

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3) Determine cuáles de los siguientes anillos son Dominio de Integridad:
a. \( (\Bbb R,+,\cdot) \)    b. \( (\Bbb Z,+,\cdot) \)    c. \( (\{6x|x\in \Bbb Z\},+,\cdot) \)

en este debo probarlo en las dos operaciones o con una basta para ser dominio de integridad.

Tienes que ver cuáles de esas estructuras algebraicas son anillos conmutativos (es decir que son anillos cuya operación de multiplicación es conmutativa) y que además carecen de divisores del cero. Si no sabes lo que significa nada de esto deberías repasar tus apuntes, sería muy largo, tedioso y bastante inútil que te repitiera aquí lo que seguramente ya tengas en tus apuntes.

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4) Sea \( {\Bbb Q}_2 \)  el  conjunto de los número racionales con \( {\Bbb Q}_2=\{m/n:m.n\in \Bbb Z,n\neq 0\textsf{ y $m∧n$ son primos relativos y $2$ no es un factor de $n$}\} \). ¿Es \( ({\Bbb Q}_2,+.\cdot ) \) un anillo con dominio de integridad.

y este ejercicio lo puede hacer como si fuese \( ({\Bbb Q},+.\cdot ) \) sino cual es la diferencia?

Lo mismo de arriba.