Autor Tema: Subobjetos de un A-módulo

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01 Octubre, 2020, 08:22 am
Respuesta #10

malboro

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Hola Geómetracat, tengo unas dudas sobre tu último mensaje.
Cuando dices:  Caracterizar de manera categorial los anillos cociente significa caracterizar los objetos cociente de un anillo?
Luego  comentas que en la categoría de anillos, los homomorfismos sobreyectivos coinciden con los epimorfismos efectivos y ya con ese resultado se ha caracterizado los objetos cocientes de un anillo.
 
Saludos
Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.

01 Octubre, 2020, 08:34 am
Respuesta #11

geómetracat

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Cuando dices:  Caracterizar de manera categorial los anillos cociente significa caracterizar los objetos cociente de un anillo?
No, son cosas distintas. La cuestión en que en la categoría de anillos, objeto cociente \( \neq \) anillo cociente (con la definición de anillo cociente usual en álgebra).

Por definición un objeto cociente de \( A \) en una categoría \( \mathcal{C} \) es una clase de equivalencia de epimorfismos \( A \to B \) (donde identificas \( A \to B \) y \( A \to B' \) si hay un isomorfismo \( B \to B' \) que hace que el triángulo formado por los tres morfismos commute). Esta es la definición dual de subobjeto.

El problema es que en la categoría de anillos, por ejemplo el morfismo \( \Bbb Z \to \Bbb Q \) es un epimorfismo, luego \( \Bbb Q \) es un objeto cociente de \( \Bbb Z \).
En cambio, un anillo cociente de \( A \) es uno de la forma \( A/I \) con \( I \) un ideal. Esto es lo mismo que considerar (clases de equivalencia de) morfismos exhaustivos \( f:A \to B \), ya que por el primer teorema de isomorfía \( A/Ker(f) \cong B \), y todo cociente viene representado por la aplicación cociente (morfismo exhaustivo) \( A \to A/I \).
Por tanto, si quieres caracterizar de manera categorial los anillos cocientes, debes encontrar una caracterización de los morfismos de anillos exhaustivos. Eso es lo que te da la noción de epimorfismo efectivo.

Citar
Luego  comentas que en la categoría de anillos, los homomorfismos sobreyectivos coinciden con los epimorfismos efectivos y ya con ese resultado se ha caracterizado los objetos cocientes de un anillo.

No, cuidado. Con ese resultado se han caracterizado los anillos cocientes, no los objetos cocientes. Para caracterizar los objetos cocientes, necesitas caracterizar los epimorfismos de anillos.
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)

01 Octubre, 2020, 08:45 am
Respuesta #12

malboro

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Muchas gracias Geómetracat.

Hay algún libro que de ideas de caracterizar objetos cociente de un anillo?

Es verdad que un matemático que no tenga algo de poeta nunca será un matemático perfecto.

01 Octubre, 2020, 09:05 am
Respuesta #13

geómetracat

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Yo no conozco nada más allá de los resultados parciales que ya puso Gustavo (epimorfismos en anillos = monomorfismos en esquemas afines).
La ecuación más bonita de las matemáticas: \( d^2=0 \)