[malboro]

Hola a todos.

Algunas definiciones: Sean  una C categoría y \(  A \) un objeto fijo de C. Dados los monomorfismos \( f:X\rightarrow{A} \), \( g:Y\rightarrow{A}  \) en C, diremos que
\( g<f  \) si existe  una flecha \( h:Y\rightarrow{X}  \) en C tal que \( f\circ{h}=g  \).

Ahora vamos a definir una relación de equivalencia en el conjunto de los monomorfismos  que van hacia el objeto \( A  \): \( f\sim{g}  \) si y solo si \(  f<g \) y \( g<f  \). Dado \( h:Z\rightarrow{A}  \) un monomorfismo, entonces la clase \( \overline{h}=\left\{{f \mid  f\sim{h}}\right\}  \) es el conjunto de los subobjetos de \( A  \).


Afirmación: Los subobjetos de un R-módulo  \( M  \) son salvo equivalencia, los submódulos con las inclusiones.

¿ Cuál es la idea para esa afirmación?

Muchas  gracias

[Gustavo]

Hola. Recuerda que los monomorfismos en la categoría de R-módulos son los homomorfismos inyectivos. Además la imagen de un homomorfismo es un R-submódulo. Así que si tienes un R-módulo N y un monomorfismo \( h:N \to M \), puedes identificar \( (N,h) \) con el submódulo \( (\text{Im}(h),i) \), donde \( i \) es la inclusión.

[malboro]

Muchas gracias Gustavo.

Si trabajamos en la categoría de anillos, es similar probar que los subobjetos de un anillo A son salvo equivalencia. los subanillos con las inclusiones.

En qué categoría no se cumple este resultado?

Muchas gracias.

[geómetracat]

Hay categorías en las que no tiene sentido preguntarse por un resultado de ese tipo porque para que tenga sentido necesitas como mínimo que la categoría sea concreta (es decir, que tenga un funtor fiel a Set), para poder ver los objetos como conjuntos e identificar subobjetos con subconjuntos.

Aún así, hay categorías concretas con monomorfismos que no son inyectivos. En estas categorías no tienes un resultado de ese estilo. Por ejemplo, en la categoría de los grupos abelianos divisibles, tienes que la aplicación cociente \( f:\Bbb Q \to \Bbb Q/\Bbb Z \) es un monomorfismo pero no es inyectiva. Así que \( \Bbb Q \) es subobjeto de \( \Bbb Q / \Bbb Z \) en esta categoría, pero no es un subgrupo.

Lo que sí es cierto es que es difícil encontrar ejemplos de este estilo porque si hay objetos libres (el funtor olvido \( U:C \to Set \) tiene un adjunto por la izquierda) entonces todos los monomorfismos son inyectivos. Y la gran mayoría de las estructuras algebraicas tienen objetos libres.

[malboro]

Muchas gracias.

Saludos

[malboro]

Hola.

Estuve leyendo los objetos cociente que son los subobjetos en la categoría opuesta. Consigo ver que en la categoría de R módulos, los objetos cociente de un R-módulo M son salvo equivalencia los módulos cocientes con las proyecciones canónicas, pero en la categoría de anillos conmutativos con identidad también se cumple lo anterior?

Muchas gracias

saludos

[Gustavo]

Hola. No. Por ejemplo la inclusión de \( \mathbf Z \to \mathbf Q \) es un epimorfismo (porque los homomorfismos desde \( \mathbf Q \) quedan determinados por sus valores en \( \mathbf Z \)), pero no corresponde a ninguno de los cocientes "usuales" de \( \mathbf Z \).

[malboro]

Muchas gracias Gustavo, ese contraejemplo que colocas lo puedo generalizar tomando un anillo cualquiera y mandandolo a su anillo de fracciones?

Y otra pregunta: podemos caracterizar los objetos cociente de cualquier anillo?


Saludos

[Gustavo]

Sí puedes generalizarlo así (incluso a localizaciones) y la prueba es la misma. Con respecto a la segunda pregunta, eso lo veo complicado. Para empezar, aquí hay una interesante discusión en mathoverflow sobre caracterizaciones de epimorfismos.

[geómetracat]

Un comentario sobre los anillos cociente. Caracterizar de manera categorial los anillos cociente, es esencialmente lo mismo que caracterizar los morfismos exhaustivos de anillos. Los epimorfismos en sentido categórico no coinciden con los morfismos exhaustivos, pero la clase que sí coincide son los epimorfismos efectivos.
Un epimorfismo efectivo en una categoría (con pullbacks) es un morfismo \( f:X \to Y \) tal que \( f \) es el coecualizador de las dos proyecciones\( \pi_1,\pi_2:X \times_Y X \to X \). Se puede comprobar (no es muy difícil) que estos son exactamente los morfismos exhaustivos en la categoría de anillos conmutativos.

Por tanto, los anillos cocientes de un anillo \( A \) coinciden con los objetos cociente efectivos de \( A \).

Por cierto, muy chulo el link que has dado, Gustavo. No conocía la caracterización de los monomorfismos entre los morfismos localmente de tipo finito en esquemas afines. Generalmente es muy buena idea pensar morfismos en anillos como los opuestos en esquemas afines, porque tenemos un lenguaje geométrico y unas construcciones muy ricas.